Verifique se a função é homogênea. Se for, determine seu grau de homogeneidade.
f(x, y)=x^3+y^3+1
c f(t x, t y)= t^3 x^3+t^3 y^3

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a função é homogênea e, caso seja, indicar o grau de homogeneidade. O conteúdo aqui é o conceito de função homogênea, que exige que haja um número real n tal que para todo t, x, y valha f(tx,ty)=t^n f(x,y).

Passo 2

Vamos calcular f(tx,ty). Pela definição da função temos:
f(tx,ty) = (t x)^3 + (t y)^3 + 1 = t^3 x^3 + t^3 y^3 + 1

Passo 3

Para ser homogênea de grau n precisaríamos ter
f(tx,ty) = t^n f(x,y) = t^n(x^3 + y^3 + 1) = t^n x^3 + t^n y^3 + t^n
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que os termos em x^3 e y^3 coincidem apenas se n=3, mas o termo constante nos dá 1 no primeiro caso e t^n no segundo. Não há nenhum n que faça 1 = t^n para todo t.

Passo 4

Como não conseguimos igualar o termo constante para nenhum n, concluímos que f(x,y)=x3+y3+1 não é uma função homogênea.

Resposta

A função não é homogênea.

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