Verifique se a função é homogênea. Se for, determine seu grau de homogeneidade.
Passo 1
O enunciado pede pra verificar se a função é homogênea e, caso seja, indicar o grau de homogeneidade. O conteúdo aqui é o conceito de função homogênea, que exige que haja um número real n tal que para todo t, x, y valha f(tx,ty)=t^n f(x,y).
Passo 2
Vamos calcular f(tx,ty). Pela definição da função temos:
Passo 3
Para ser homogênea de grau n precisaríamos ter
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que os termos em x^3 e y^3 coincidem apenas se n=3, mas o termo constante nos dá 1 no primeiro caso e t^n no segundo. Não há nenhum n que faça 1 = t^n para todo t.
Passo 4
Como não conseguimos igualar o termo constante para nenhum n, concluímos que f(x,y)=x3+y3+1 não é uma função homogênea.
Resposta
A função não é homogênea.