Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: precisamos determinar os intervalos de convergência da série de potências (em
)
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - A série é uma série de potências centrada em
(i.e. da forma com ). - Precisamos decidir para quais valores reais de
a série converge (e que tipo de convergência em pontos extremos).
Passo 2
Estratégia geral (sem detalhes técnicos ainda): para séries de potências
o passo padrão é achar o raio de convergência
e depois verificar os extremos
. O raio
pode ser determinado por
ou, mais elementarmente, usando o teste da raiz de Cauchy:
Aqui
. Então precisamos estudar o comportamento assintótico de
quando
.
Passo 3
Aproximação de
para pequenos argumentos (aula rápida): para
pequeno vale a expansão de Taylor
Aplicando com
(que tende a
quando
) obtemos
Dessa fórmula percebemos que, para grandes
,
ou seja, o termo comporta-se como
.
Passo 4
Cálculo do raio de convergência usando o comportamento assintótico: como
satisfaz
, temos
porque
. Logo
Pelo teorema do raio de convergência,
Portanto a série converge absolutamente para todo
com
e diverge para
.
Passo 5
Verificação do extremo
: substituindo
a série vira
Usamos o teste da comparação assintótica (limite): como já vimos
logo
comporta-se como
. A série
(harmônica) diverge, portanto por limite de comparação a série
também diverge. Conclusão: em
a série diverge.
Passo 6
Verificação do extremo
: para
temos a série
Aqui convém usar o critério de Leibniz (série alternada): se os termos
satisfazem (i)
, (ii)
é monótona decrescente a partir de algum
, e (iii)
, então
converge. Já sabemos que
e
. Falta checar monotonicidade: considere a função contínua
para
; sua derivada é
Para todo
temos
(porque
está num intervalo onde o cosseno é positivo), logo
para
. Isso mostra que a sequência
é decrescente para
. Assim as três hipóteses de Leibniz são satisfeitas e a série em
converge. Não é convergência absoluta, porque
diverge como vimos no Passo 5. Logo a convergência em
é condicional.
Passo 7
Resumo final dos resultados que precisamos guardar para a prova:
- Raio de convergência
. - Convergência absoluta para
. - Em
: diverge (comparação com ). - Em
: converge condicionalmente (teste de Leibniz, termos decrescentes e tendendo a zero).