Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
\sum x^{n} \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: precisamos determinar os intervalos de convergência da série de potências (em x)
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n(x)=x^{n}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
  • A série é uma série de potências centrada em 0 (i.e. da forma \sum a_n x^n com a_n=\sin(1/n)).
  • Precisamos decidir para quais valores reais de x a série converge (e que tipo de convergência em pontos extremos).

Passo 2

Estratégia geral (sem detalhes técnicos ainda): para séries de potências \sum a_n x^n o passo padrão é achar o raio de convergência R e depois verificar os extremos x=\pm R. O raio R pode ser determinado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}},
ou, mais elementarmente, usando o teste da raiz de Cauchy:
\text{se }\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|}=L<1\text{ então converge absolutamente; se }L>1\text{ diverge.}ã
Aqui a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right). Então precisamos estudar o comportamento assintótico de \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) quando n\to\infty.

Passo 3

Aproximação de \sin para pequenos argumentos (aula rápida): para t pequeno vale a expansão de Taylor
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + o(t^{3}) \quad (t\to 0).
Aplicando com t=\frac{1}{n} (que tende a 0 quando n\to\infty) obtemos
\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^{3}} + o\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Dessa fórmula percebemos que, para grandes n,
\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n},
ou seja, o termo comporta-se como \frac{1}{n}.

Passo 4

Cálculo do raio de convergência usando o comportamento assintótico: como a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) satisfaz a_n\sim 1/n, temos
\sqrt[n]{|a_n|} \to 1 \quad\text{quando }n\to\infty,
porque \sqrt[n]{1/n}= (1/n)^{1/n}\to 1. Logo
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1.
Pelo teorema do raio de convergência,
R=\frac{1}{1}=1.
Portanto a série converge absolutamente para todo x com |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 5

Verificação do extremo x=1: substituindo x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Usamos o teste da comparação assintótica (limite): como já vimos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{1/n} = 1,
logo \sin(1/n) comporta-se como 1/n. A série \sum 1/n (harmônica) diverge, portanto por limite de comparação a série \sum \sin(1/n) também diverge. Conclusão: em x=1 a série diverge.

Passo 6

Verificação do extremo x=-1: para x=-1 temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Aqui convém usar o critério de Leibniz (série alternada): se os termos b_n=\sin(1/n) satisfazem (i) b_n\ge 0, (ii) b_n é monótona decrescente a partir de algum N, e (iii) b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Já sabemos que b_n=\sin(1/n)>0 e b_n\to 0. Falta checar monotonicidade: considere a função contínua f(x)=\sin(1/x) para x>0; sua derivada é
f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Para todo x\ge 1 temos \cos(1/x)>0 (porque 1/x\in(0,1] está num intervalo onde o cosseno é positivo), logo f'(x)<0 para x\ge 1. Isso mostra que a sequência b_n=f(n)=\sin(1/n) é decrescente para n\ge 1. Assim as três hipóteses de Leibniz são satisfeitas e a série em x=-1 converge. Não é convergência absoluta, porque \sum |(-1)^n\sin(1/n)|=\sum \sin(1/n) diverge como vimos no Passo 5. Logo a convergência em x=-1 é condicional.

Passo 7

Resumo final dos resultados que precisamos guardar para a prova:
  • Raio de convergência R=1.
  • Convergência absoluta para |x|<1.
  • Em x=1: diverge (comparação com \sum 1/n).
  • Em x=-1: converge condicionalmente (teste de Leibniz, termos decrescentes e tendendo a zero).

Resposta

[-1,1)

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