Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Determinar os intervalos de crescimento (onde a função cresce) e de decrescimento (onde a função decresce).
- Determinar os intervalos em que a concavidade é para cima e para baixo.
- Fazer um esboço do gráfico (descrever os elementos principais para poder desenhar).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma razão de polinômios, logo seu domínio é todos os reais exceto onde o denominador é zero; o denominador é
, logo está fora do domínio. - Temos um ponto de descontinuidade em
(possível assíntota vertical). - Precisaremos derivas para estudar monotonia e concavidade.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
para estudar monotonia. Vou ensinar a regra do quociente passo a passo: se
com
e
diferenciáveis, então
Aqui
e
. Então:
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandindo
:
Subtraindo
(lembrando do fator
comum) obtemos:
Multiplicando pelo
que estava fora:
O denominador é
. Portanto
Passo 3
Identificamos os pontos críticos (onde
ou
não existe):
-
quando o numerador zero: ou . -
não existe em (denominador nulo), mas já está fora do domínio de .
Esses são os pontos que podem separar intervalos de monotonia:
.
Passo 4
Análise do sinal de
.
- O denominador
é sempre positivo para todo . Então o sinal de é o mesmo do numerador . - Estudo do sinal de
: - Para
: e → produto positivo → . - Para
: e → produto negativo → . - Note que isso vale tanto para
quanto para ; embora em haja descontinuidade, o sinal nos dois intervalos é o mesmo (negativo).
- Note que isso vale tanto para
- Para
: e → produto positivo → .
- Para
Consequências (monotonia):
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Pontos extremos locais (teste da primeira derivada):
- Em
a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) → é máximo local. Valor: Então máximo local em . - Em
a derivada muda de negativa para positiva → é mínimo local. Valor: Então mínimo local em .
Passo 5
Agora calculamos a segunda derivada
para estudar concavidade. Parto de
Uma forma conveniente é escrever
Derivando com produto e cadeia:
Simplifico passo a passo. Note que
, então a primeira parcela vira
. A segunda parcela é
Somando e colocando no mesmo denominador
:
Calculo o numerador:
, então
Portanto obtemos a forma muito simples
Passo 6
Análise da concavidade a partir de
:
- Para
: → → concavidade para cima em . - Para
: → → concavidade para baixo em .
Observações sobre pontos de inflexão:
- Uma inflexão ocorre quando a concavidade troca de sinal em um ponto do domínio. Aqui a concavidade troca de sinal em
, mas não pertence ao domínio (é assíntota vertical), logo não existe ponto de inflexão na curva (nenhum do domínio onde ou onde a concavidade mude dentro do domínio).
Passo 7
Outros elementos úteis para o esboço do gráfico:
- Assíntota vertical:
(denominador zero).
Comportamento próximo a: usando a decomposição abaixo, vemos que - Assíntota oblíqua (ao infinito): faço a divisão polinomial. Note que
logo Portanto a reta é a assíntota oblíqua quando (a parte ). - Interseções:
- Interseção com o eixo
(em ): . - Interseções com o eixo
: resolvemos ; o discriminante é , logo não há raízes reais → a curva não cruza o eixo .
- Interseção com o eixo
- Recapitulando extremos já encontrados:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
- Máximo local em
Descrição do esboço (como desenhar):
- Trace a assíntota vertical
e a assíntota oblíqua . - Para
a curva aproxima-se de (pela esquerda) e está côncava para baixo; cresce até atingir o máximo em , depois decresce passando por valores negativos e vai para quando . - Para
a curva sai de , é decrescente e côncava para cima em , atinge o mínimo em e depois cresce aproximando-se novamente da reta quando .
Resposta
Crescente em
e em
.
Decrescente em e em
.
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Máximo local em .
Mínimo local em .
Assíntotas: vertical e oblíqua
.
Decrescente em
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Máximo local em
Mínimo local em
Assíntotas: vertical