Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{2(x-1)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{2(x-1)}
e pede:
  • Determinar os intervalos de crescimento (onde a função cresce) e de decrescimento (onde a função decresce).
  • Determinar os intervalos em que a concavidade é para cima e para baixo.
  • Fazer um esboço do gráfico (descrever os elementos principais para poder desenhar).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios, logo seu domínio é todos os reais exceto onde o denominador é zero; o denominador é 2(x-1), logo x=1 está fora do domínio.
  • Temos um ponto de descontinuidade em x=1 (possível assíntota vertical).
  • Precisaremos derivas para estudar monotonia e concavidade.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x) para estudar monotonia. Vou ensinar a regra do quociente passo a passo: se f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} com N e D diferenciáveis, então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui N(x)=x^{2}-x+1 e D(x)=2(x-1). Então:
N'(x)=2x-1,\qquad D'(x)=2.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{(2x-1)\cdot 2(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot 2}{\bigl(2(x-1)\bigr)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandindo (2x-1)(x-1):
(2x-1)(x-1)=2x^{2}-3x+1.
Subtraindo x^{2}-x+1 (lembrando do fator 2 comum) obtemos:
(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)= (2x^{2}-3x+1)-(x^{2}-x+1)=x^{2}-2x.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
\text{numerador}=2(x^{2}-2x)=2x(x-2).
O denominador é \bigl(2(x-1)\bigr)^{2}=4(x-1)^{2}. Portanto
f'(x)=\frac{2x(x-2)}{4(x-1)^{2}}=\frac{x(x-2)}{2(x-1)^{2}}.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe):
  • f'(x)=0 quando o numerador zero: x=0 ou x=2.
  • f' não existe em x=1 (denominador nulo), mas x=1 já está fora do domínio de f.
Esses são os pontos que podem separar intervalos de monotonia: -\infty,0,1,2,\infty.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^{2}}.
  • O denominador 2(x-1)^{2} é sempre positivo para todo x\neq1. Então o sinal de f' é o mesmo do numerador x(x-2).
  • Estudo do sinal de x(x-2):
    • Para x<0: x<0 e x-2<0 → produto positivo → f'(x)>0.
    • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 → produto negativo → f'(x)<0.
      • Note que isso vale tanto para 0<x<1 quanto para 1<x<2; embora em x=1 haja descontinuidade, o sinal nos dois intervalos é o mesmo (negativo).
    • Para x>2: x>0 e x-2>0 → produto positivo → f'(x)>0.
Consequências (monotonia):
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • f é decrescente em (0,1) e em (1,2).
Pontos extremos locais (teste da primeira derivada):
  • Em x=0 a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) → x=0 é máximo local. Valor: f(0)=\frac{0^{2}-0+1}{2(0-1)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.Então máximo local em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Em x=2 a derivada muda de negativa para positiva → x=2 é mínimo local. Valor: f(2)=\frac{2^{2}-2+1}{2(2-1)}=\frac{3}{2}.Então mínimo local em \bigl(2,\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 5

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) para estudar concavidade. Parto de
f'(x)=\frac{x^{2}-2x}{2(x-1)^{2}}.
Uma forma conveniente é escrever
f'(x)=\tfrac{1}{2}\,(x^{2}-2x)(x-1)^{-2}.
Derivando com produto e cadeia:
f''(x)=\tfrac{1}{2}\Bigl( (2x-2)(x-1)^{-2} + (x^{2}-2x)\cdot(-2)(x-1)^{-3}\Bigr).
Simplifico passo a passo. Note que 2x-2=2(x-1), então a primeira parcela vira \tfrac{1}{2}\cdot 2(x-1)(x-1)^{-2}=(x-1)(x-1)^{-2}=(x-1)^{-1}. A segunda parcela é
\tfrac{1}{2}\cdot(-2)(x^{2}-2x)(x-1)^{-3}=-(x^{2}-2x)(x-1)^{-3}.
Somando e colocando no mesmo denominador (x-1)^{3}:
f''(x)=\frac{(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)}{(x-1)^{3}}.
Calculo o numerador: (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, então
(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)= (x^{2}-2x+1)-(x^{2}-2x)=1.
Portanto obtemos a forma muito simples
f''(x)=\frac{1}{(x-1)^{3}}.

Passo 6

Análise da concavidade a partir de f''(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{3}}:
  • Para x>1: (x-1)^{3}>0 f''(x)>0 → concavidade para cima em (1,\infty).
  • Para x<1: (x-1)^{3}<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,1).
Observações sobre pontos de inflexão:
  • Uma inflexão ocorre quando a concavidade troca de sinal em um ponto do domínio. Aqui a concavidade troca de sinal em x=1, mas x=1 não pertence ao domínio (é assíntota vertical), logo não existe ponto de inflexão na curva (nenhum x do domínio onde f''=0 ou onde a concavidade mude dentro do domínio).

Passo 7

Outros elementos úteis para o esboço do gráfico:
  • Assíntota vertical: x=1 (denominador zero).
    Comportamento próximo a x=1: usando a decomposição abaixo, vemos que \lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty.
  • Assíntota oblíqua (ao infinito): faço a divisão polinomial. Note que \frac{x^{2}-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1},logo f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2(x-1)}.Portanto a reta y=\dfrac{x}{2} é a assíntota oblíqua quando x\to\pm\infty (a parte \dfrac{1}{2(x-1)}\to 0).
  • Interseções:
    • Interseção com o eixo y (em x=0): f(0)=-\tfrac{1}{2}.
    • Interseções com o eixo x: resolvemos x^{2}-x+1=0; o discriminante é \Delta=1-4=-3<0, logo não há raízes reais → a curva não cruza o eixo x.
  • Recapitulando extremos já encontrados:
    • Máximo local em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr).
    • Mínimo local em \bigl(2,\tfrac{3}{2}\bigr).
Descrição do esboço (como desenhar):
  • Trace a assíntota vertical x=1 e a assíntota oblíqua y=\tfrac{x}{2}.
  • Para x\to -\infty a curva aproxima-se de y=\tfrac{x}{2} (pela esquerda) e está côncava para baixo; cresce até atingir o máximo em (0,-\tfrac{1}{2}), depois decresce passando por valores negativos e vai para -\infty quando x\to 1^-.
  • Para x\to 1^+ a curva sai de +\infty, é decrescente e côncava para cima em (1,2), atinge o mínimo em (2,\tfrac{3}{2}) e depois cresce aproximando-se novamente da reta y=\tfrac{x}{2} quando x\to+\infty.

Resposta

Crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
Decrescente em (0,1) e em (1,2).
Concavidade para baixo em (-\infty,1).
Concavidade para cima em (1,\infty).
Máximo local em \bigl(0,-\tfrac{1}{2}\bigr).
Mínimo local em \bigl(2,\tfrac{3}{2}\bigr).
Assíntotas: vertical x=1 e oblíqua y=\tfrac{x}{2}.

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