Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x)=-x^{4}+4 x^{3}-4 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função
f(x)=-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+2.
Listei abaixo, de forma clara, o que devemos encontrar:
  1. Os intervalos onde a função cresce (i.e., f'(x)>0).\n
  2. Os intervalos onde a função decresce (i.e., f'(x)<0).\n
  3. Os intervalos em que a concavidade é para cima (i.e., f''(x)>0) e para baixo (i.e., f''(x)<0).\n
    Além disso, o enunciado pede um esboço do gráfico, então vou também localizar pontos importantes (extremos e pontos de inflexão) para conseguirmos desenhar o gráfico corretamente.

Passo 2

Vamos começar explicando o que é derivada e calculando f'(x).
  • Intuição: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Se f'(x)>0 a função sobe (cresce) naquele ponto; se f'(x)<0 a função desce (decresce).
  • Cálculo da derivada usando regras básicas (derivada de x^n é n x^{n-1}):
f(x)=-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+2
\Rightarrow f'(x) = -4x^{3}+12x^{2}-8x.
  • Agora fatoramos f'(x) para encontrar os pontos onde a derivada é zero (os candidatos a extremos):
f'(x) = -4x^{3}+12x^{2}-8x = -4x\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).
Observe que x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2). Portanto
f'(x) = -4x(x-1)(x-2).
As raízes de f'(x) (os pontos críticos) são \,x=0,\;x=1,\;x=2.

Passo 3

Agora determinamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelas raízes para inferir crescimento/decrescimento.
Os intervalos a testar são (-\infty,0),\\ (0,1),\\ (1,2),\\ (2,\infty).
  • Método: escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal de cada fator em f'(x)=-4x(x-1)(x-2). Lembre-se que o fator -4 é sempre negativo e só inverte o sinal global.
  1. Para \,x<0 (ex.: x=-1):
x<0 \Rightarrow x\\ \text{negativo},\\ (x-1)\\ \text{negativo},\\ (x-2)\\ \text{negativo}.
Produto x(x-1)(x-2)=\text{negativo}. Multiplicando por -4 (negativo) obtemos f'(x)>0.
Logo f cresce em (-\infty,0).
  1. Para 0<x<1 (ex.: x=0{,}5):
x>0\\ \text{positivo},\\ (x-1)\\ \text{negativo},\\ (x-2)\\ \text{negativo}.
Produto x(x-1)(x-2)=\text{positivo}. Multiplicando por -4 f'(x)<0.
Logo f decresce em (0,1).
  1. Para 1<x<2 (ex.: x=1{,}5):
x>0\\ \text{positivo},\\ (x-1)\\ \text{positivo},\\ (x-2)\\ \text{negativo}.
Produto x(x-1)(x-2)=\text{negativo}. Multiplicando por -4 f'(x)>0.
Logo f cresce em (1,2).
  1. Para x>2 (ex.: x=3):
x>0,\\ (x-1)>0,\\ (x-2)>0 \Rightarrow x(x-1)(x-2)>0,
portanto f'(x)<0.
Logo f decresce em (2,\infty).
Resumo (aqui já é conclusão sobre crescimento/decrescimento):
  • Cresce em (-\infty,0)\cup(1,2).
  • Decresce em (0,1)\cup(2,\infty).

Passo 4

Classificando os pontos críticos com base na mudança de sinal de f':
  • Em x=0: f' vai de positivo (esquerda) para negativo (direita) → f passa de crescer para decrescer → ponto de máximo local em x=0.
  • Em x=1: f' vai de negativo (esquerda) para positivo (direita) → mínimo local em x=1.
  • Em x=2: f' vai de positivo (esquerda) para negativo (direita) → máximo local em x=2.
Calculamos também os valores de f nesses pontos para fixá-los no esboço:
f(0)=2,\qquad f(1)=-1+4-4+2=1,\qquad f(2)=-16+32-16+2=2.
Portanto os extremos são os pontos:
\text{máximos locais em }(0,2)\text{ e }(2,2);\quad \text{mínimo local em }(1,1).áí

Passo 5

Agora vamos estudar a concavidade usando a segunda derivada.
  • Intuição: a segunda derivada f''(x) indica a concavidade: f''(x)>0 → concavidade para cima; f''(x)<0 → concavidade para baixo. Pontos onde f''(x)=0 e troca de sinal são pontos de inflexão.
  • Calculamos f''(x) derivando f'(x)=-4x^{3}+12x^{2}-8x:
f''(x) = -12x^{2}+24x-8.
Fatoramos para achar as raízes:
f''(x) = -4\bigl(3x^{2}-6x+2\bigr).
Resolvendo f''(x)=0:
3x^{2}-6x+2=0 \Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}=\dfrac{6\pm 2\sqrt{3}}{6}=1\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Então os pontos de inflexão em abscissas são
x_1 = 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}42265,\qquad x_2 = 1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 1{,}57735.

Passo 6

Determinamos o sinal de f''(x) em cada intervalo definido pelos pontos de inflexão para saber concavidade:
Intervalos: (-\infty,x_1),\\ (x_1,x_2),\\ (x_2,\infty).
  • Teste em x=0 (está em (-\infty,x_1)): f''(0)=-8<0 → concavidade para baixo em (-\infty,x_1).
  • Teste em x=1 (está em (x_1,x_2)): f''(1)=-12+24-8=4>0 → concavidade para cima em (x_1,x_2).
  • Teste em x=2 (está em (x_2,\infty)): f''(2)=-48+48-8=-8<0 → concavidade para baixo em (x_2,\infty).
Portanto:
  • Concavidade para baixo em (-\infty,\,1-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
  • Concavidade para cima em \bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Vamos também avaliar f nos pontos de inflexão para marcar no esboço (aproximações numéricas):
  • Para x_1=1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}42265 obtemos f(x_1)\approx 1{,}5537.
  • Para x_2=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 1{,}57735 obtemos f(x_2)\approx 1{,}5495.
(Os cálculos numéricos foram feitos expandindo a expressão de f nestes x e aproximando; os dois valores ficam cerca de 1{,}55.)

Passo 7

Resumo das informações importantes para o esboço do gráfico (tudo o que precisamos para desenhar):
  • Comportamento nas pontas: como o termo dominante é -x^{4} (grau par com coeficiente negativo), temos \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty. Ou seja, as duas extremidades do gráfico vão para baixo.
  • Extremos locais:
    (0,2) — máximo local;
    (1,1) — mínimo local;
    (2,2) — máximo local.
  • Pontos de inflexão:
    \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,f\bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\right)\approx(0{,}42265,\,1{,}5537) e \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,f\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\right)\approx(1{,}57735,\,1{,}5495).
  • Concavidade: para baixo até o primeiro ponto de inflexão, para cima entre os dois pontos de inflexão, e para baixo depois do segundo.
Com isso você consegue desenhar um esboço: começa subindo vindo da esquerda, atinge o máximo em (0,2), desce até o mínimo em (1,1), sobe de novo até o máximo em (2,2) e depois cai para -\infty à medida que x\to\infty. A concavidade muda nas abscissas 1\pm 1/\sqrt{3}, conforme calculado.

Resposta

Crescimento: (-\infty,0)\cup(1,2)\n
Decrescimento: (0,1)\cup(2,\infty)\n
Concavidade para cima: \displaystyle\bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\n
Concavidade para baixo: \displaystyle(-\infty,\,1-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty\bigr)\n
Pontos notáveis: máximos locais em (0,2) e (2,2); mínimo local em (1,1); pontos de inflexão em \displaystyle x=1\pm\frac{1}{\sqrt{3}} (valores de f aproximadamente 1{,}55).

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