Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
Listei abaixo, de forma clara, o que devemos encontrar:
- Os intervalos onde a função cresce (i.e.,
).\n - Os intervalos onde a função decresce (i.e.,
).\n - Os intervalos em que a concavidade é para cima (i.e.,
) e para baixo (i.e., ).\n
Além disso, o enunciado pede um esboço do gráfico, então vou também localizar pontos importantes (extremos e pontos de inflexão) para conseguirmos desenhar o gráfico corretamente.
Passo 2
Vamos começar explicando o que é derivada e calculando
.
-
Intuição: a derivada
dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Se a função sobe (cresce) naquele ponto; se a função desce (decresce). -
Cálculo da derivada usando regras básicas (derivada de
é ):
- Agora fatoramos
para encontrar os pontos onde a derivada é zero (os candidatos a extremos):
Observe que
. Portanto
As raízes de
(os pontos críticos) são
Passo 3
Agora determinamos o sinal de
em cada intervalo determinado pelas raízes para inferir crescimento/decrescimento.
Os intervalos a testar são
.
- Método: escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos o sinal de cada fator em
. Lembre-se que o fator é sempre negativo e só inverte o sinal global.
- Para
(ex.: ):
Produto
. Multiplicando por
(negativo) obtemos
.
Logo cresce em
.
Logo
- Para
(ex.: ):
Produto
. Multiplicando por
dá
.
Logo decresce em
.
Logo
- Para
(ex.: ):
Produto
. Multiplicando por
dá
.
Logo cresce em
.
Logo
- Para
(ex.: ):
portanto
.
Logo decresce em
.
Logo
Resumo (aqui já é conclusão sobre crescimento/decrescimento):
- Cresce em
. - Decresce em
.
Passo 4
Classificando os pontos críticos com base na mudança de sinal de
:
-
Em
: vai de positivo (esquerda) para negativo (direita) → passa de crescer para decrescer → ponto de máximo local em . -
Em
: vai de negativo (esquerda) para positivo (direita) → mínimo local em . -
Em
: vai de positivo (esquerda) para negativo (direita) → máximo local em .
Calculamos também os valores de
nesses pontos para fixá-los no esboço:
Portanto os extremos são os pontos:
Passo 5
Agora vamos estudar a concavidade usando a segunda derivada.
-
Intuição: a segunda derivada
indica a concavidade: → concavidade para cima; → concavidade para baixo. Pontos onde e troca de sinal são pontos de inflexão. -
Calculamos
derivando :
Fatoramos para achar as raízes:
Resolvendo
:
Então os pontos de inflexão em abscissas são
Passo 6
Determinamos o sinal de
em cada intervalo definido pelos pontos de inflexão para saber concavidade:
Intervalos:
.
-
Teste em
(está em ): → concavidade para baixo em . -
Teste em
(está em ): → concavidade para cima em . -
Teste em
(está em ): → concavidade para baixo em .
Portanto:
- Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
.
Vamos também avaliar
nos pontos de inflexão para marcar no esboço (aproximações numéricas):
- Para
obtemos - Para
obtemos
(Os cálculos numéricos foram feitos expandindo a expressão de
nestes
e aproximando; os dois valores ficam cerca de
.)
Passo 7
Resumo das informações importantes para o esboço do gráfico (tudo o que precisamos para desenhar):
- Comportamento nas pontas: como o termo dominante é
(grau par com coeficiente negativo), temos . Ou seja, as duas extremidades do gráfico vão para baixo. - Extremos locais:
— máximo local;
— mínimo local;
— máximo local. - Pontos de inflexão:
e . - Concavidade: para baixo até o primeiro ponto de inflexão, para cima entre os dois pontos de inflexão, e para baixo depois do segundo.
Com isso você consegue desenhar um esboço: começa subindo vindo da esquerda, atinge o máximo em
, desce até o mínimo em
, sobe de novo até o máximo em
e depois cai para
à medida que
. A concavidade muda nas abscissas
, conforme calculado.
Resposta
Crescimento:
\n
Decrescimento: \n
Concavidade para cima: \n
Concavidade para baixo: \n
Pontos notáveis: máximos locais em e
; mínimo local em
; pontos de inflexão em
(valores de
aproximadamente
).
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos notáveis: máximos locais em