Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f:
  1. Determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui).
  2. Determinar os intervalos em que a concavidade da função é para cima (côncava para cima) ou para baixo (côncava para baixo).
  3. Fazer um esboço do gráfico com os pontos e comportamentos relevantes.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{x}.
  • A função não está definida em x=0, portanto o domínio é (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Precisamos estudar derivadas para monotonicidade e concavidade, e também observar assíntotas e pontos especiais (máximos/minimos locais e pontos de inflexão).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x), passo a passo, e explicar cada termo.
Regra usada: a derivada de x^{2} é 2x.
Regra usada: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}.
Portanto,
f'(x)=2x - x^{-2}.
Para facilitar o estudo do sinal, escrevemos com denominador comum:
f'(x)=\frac{2x^{3}-1}{x^{2}}.
Explicação didática: o sinal de f'(x) determina se f cresce ( f'>0) ou decresce ( f'<0). Aqui o denominador x^{2} é sempre positivo para x\neq0, então o sinal de f' vem do numerador 2x^{3}-1.

Passo 3

Encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe):
  • f'(x)=0 quando o numerador 2x^{3}-1=0. Resolve-se:
2x^{3}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x= \sqrt[3]{\tfrac{1}{2}} = 2^{-1/3}.
  • f'(x) não existe em x=0, porém x=0 não pertence ao domínio de f, então não é um ponto crítico interior da função (apenas uma assíntota vertical).
Cálculo aproximado (apenas para intuição): \;2^{-1/3}\approx 0{,}7937.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x)=\dfrac{2x^{3}-1}{x^{2}} para determinar monotonicidade.
Observação importante: para x\neq0 o denominador x^{2}>0, logo o sinal de f' é o mesmo do sinal de 2x^{3}-1.
Estudamos 2x^{3}-1:
  • Se x<0, então x^{3}<0 e 2x^{3}-1< -1. Logo f'(x)<0 para todo x<0.
  • Se 0<x<2^{-1/3}, então x^{3}<\tfrac{1}{2} e 2x^{3}-1<0. Logo f'(x)<0 em (0,2^{-1/3}).
  • Se x>2^{-1/3}, então x^{3}>\tfrac{1}{2} e 2x^{3}-1>0. Logo f'(x)>0 em (2^{-1/3},\infty).
Conclusão (monotonicidade):
  • f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,2^{-1/3}).
  • f é crescente em (2^{-1/3},\infty).
Explicação rápida do teste: como o denominador nunca muda de sinal (positivo), basta resolver 2x^{3}-1 para localizar as trocas de sinal da derivada.

Passo 5

Classificação do ponto crítico x=2^{-1/3} (máximo, mínimo ou ponto de flexão):
Vimos que f' passa de negativa para positiva ao atravessar x=2^{-1/3} (à esquerda de 2^{-1/3} em (0,2^{-1/3}) temos f'<0; à direita, f'>0). Portanto é um mínimo local.
Valor da função nesse ponto:
Se a=2^{-1/3}, então
f(a)=a^{2}+\frac{1}{a}=2^{-2/3}+2^{1/3}.
Podemos simplificar observando que 2^{1/3}=2\cdot 2^{-2/3}, assim
f(a)=2^{-2/3}+2\cdot 2^{-2/3}=3\cdot 2^{-2/3}.
Aproximação numérica: 3\cdot 2^{-2/3}\approx 1{,}890.
Portanto há um mínimo local em x=2^{-1/3} com valor f(2^{-1/3})=3\cdot 2^{-2/3}.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
Derivando f'(x)=2x - x^{-2} obtemos
f''(x)=2 + 2x^{-3}.
Escrevendo de forma fatorada:
f''(x)=2\!\left(1+\dfrac{1}{x^{3}}\right).
Explicação didática: o sinal de f'' indica concavidade — se f''>0 a curva é côncava para cima (como uma “tigela”), se f''<0 é côncava para baixo (como um “arco”).

Passo 7

Encontrar possíveis pontos de inflexão (onde f''(x)=0 ou f'' indefinida):
  • Resolver f''(x)=0:
2\!\left(1+\dfrac{1}{x^{3}}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad 1+\dfrac{1}{x^{3}}=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{x^{3}}=-1
\Rightarrow\quad x^{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
  • f'' é indefinida em x=0, que não pertence ao domínio (assíntota).
Verificação do sinal de f'' nos intervalos do domínio:
  • Para x<-1: x^{3}<-1 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{3}}\in(-1,0)\Rightarrow 1+\dfrac{1}{x^{3}}>0. Logo f''(x)>0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0: x^{3}\in(-1,0)\Rightarrow \dfrac{1}{x^{3}}<-1\Rightarrow 1+\dfrac{1}{x^{3}}<0. Logo f''(x)<0 em (-1,0).
  • Para x>0: x^{3}>0\Rightarrow \dfrac{1}{x^{3}}>0\Rightarrow 1+\dfrac{1}{x^{3}}>0. Logo f''(x)>0 em (0,\infty).
Conclusão (concavidade):
  • f é côncava para cima em (-\infty,-1) e em (0,\infty).
  • f é côncava para baixo em (-1,0).
  • Há um ponto de inflexão em x=-1. Valor da função em x=-1:
f(-1)=(-1)^{2}+\frac{1}{-1}=1-1=0.
Logo ponto de inflexão em (-1,0).

Passo 8

Comportamentos assintóticos e limites importantes (ajudam no esboço):
  • Em x\to 0^{+}: \dfrac{1}{x}\to +\infty domina, então f(x)\to +\infty.
  • Em x\to 0^{-}: \dfrac{1}{x}\to -\infty, então f(x)\to -\infty.
    Isto mostra que x=0 é uma assíntota vertical com sinais opostos dos dois lados.
  • Quando |x|\to\infty, o termo dominante é x^{2}, logo f(x)\to +\infty tanto para x\to +\infty quanto para x\to -\infty.

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão):
  1. Trace o eixo x e assinale que x=0 é uma linha que não pode ser tocada (assíntota vertical). À esquerda de 0 a função tende a -\infty quando se aproxima de 0; à direita tende a +\infty.
  2. No ramo x<0:
    • f é decrescente em todo (-\infty,0).
    • f é côncava para cima em (-\infty,-1), passa por (-1,0) (ponto de inflexão), depois fica côncava para baixo em (-1,0) e vai para -\infty ao se aproximar de 0^{-}.
    • À esquerda, quando x\to -\infty, f(x)\to +\infty, então o ramo vem de cima, decresce, curva para cima, passa por (-1,0) e segue decrescendo, curvando para baixo, até -\infty em 0^{-}.
  3. No ramo x>0:
    • Ao aproximar de 0^{+}, f\to +\infty.
    • Em (0,2^{-1/3}) a função é decrescente e é côncava para cima (então desce de +\infty com curvatura para cima).
    • Em x=2^{-1/3}\approx0{,}7937 tem um mínimo local com valor f(2^{-1/3})=3\cdot 2^{-2/3}\approx1{,}890.
    • Para x>2^{-1/3} a função cresce e continua côncava para cima, subindo para +\infty conforme x\to +\infty.
  4. Marque no esboço:
    • Assíntota vertical em x=0.
    • Ponto de inflexão (-1,0).
    • Mínimo local \bigl(2^{-1/3},\,3\cdot 2^{-2/3}\bigr).
    • Comportamento f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty.

Resposta

Crescimento: \left(2^{-1/3},\infty\right)
Decrescimento: (-\infty,0) e \left(0,2^{-1/3}\right)
Concavidade para cima: (-\infty,-1) e (0,\infty)
Concavidade para baixo: (-1,0)
Ponto de mínimo local: x=2^{-1/3}, valor f(2^{-1/3})=3\cdot 2^{-2/3}
Ponto de inflexão: (-1,0)
Assíntota vertical: x=0

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