Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- Determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui).
- Determinar os intervalos em que a concavidade da função é para cima (côncava para cima) ou para baixo (côncava para baixo).
- Fazer um esboço do gráfico com os pontos e comportamentos relevantes.
Informações dadas:
- A função é
. - A função não está definida em
, portanto o domínio é . - Precisamos estudar derivadas para monotonicidade e concavidade, e também observar assíntotas e pontos especiais (máximos/minimos locais e pontos de inflexão).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
, passo a passo, e explicar cada termo.
Regra usada: a derivada de
é
.
Regra usada: .
Regra usada:
Portanto,
Para facilitar o estudo do sinal, escrevemos com denominador comum:
Explicação didática: o sinal de
determina se
cresce (
) ou decresce (
). Aqui o denominador
é sempre positivo para
, então o sinal de
vem do numerador
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos (onde
ou
não existe):
-
quando o numerador . Resolve-se:
-
não existe em , porém não pertence ao domínio de , então não é um ponto crítico interior da função (apenas uma assíntota vertical).
Cálculo aproximado (apenas para intuição):
.
Passo 4
Análise do sinal de
para determinar monotonicidade.
Observação importante: para
o denominador
, logo o sinal de
é o mesmo do sinal de
.
Estudamos
:
- Se
, então e . Logo para todo . - Se
, então e . Logo em . - Se
, então e . Logo em .
Conclusão (monotonicidade):
-
é decrescente em e em . -
é crescente em .
Explicação rápida do teste: como o denominador nunca muda de sinal (positivo), basta resolver
para localizar as trocas de sinal da derivada.
Passo 5
Classificação do ponto crítico
(máximo, mínimo ou ponto de flexão):
Vimos que
passa de negativa para positiva ao atravessar
(à esquerda de
em
temos
; à direita,
). Portanto é um mínimo local.
Valor da função nesse ponto:
Se , então
Se
Podemos simplificar observando que
, assim
Aproximação numérica:
.
Portanto há um mínimo local em
com valor
.
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
Derivando
obtemos
Escrevendo de forma fatorada:
Explicação didática: o sinal de
indica concavidade — se
a curva é côncava para cima (como uma “tigela”), se
é côncava para baixo (como um “arco”).
Passo 7
Encontrar possíveis pontos de inflexão (onde
ou
indefinida):
- Resolver
:
-
é indefinida em , que não pertence ao domínio (assíntota).
Verificação do sinal de
nos intervalos do domínio:
- Para
: . Logo em . - Para
: . Logo em . - Para
: . Logo em .
Conclusão (concavidade):
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em . - Há um ponto de inflexão em
. Valor da função em :
Logo ponto de inflexão em
.
Passo 8
Comportamentos assintóticos e limites importantes (ajudam no esboço):
-
Em
: domina, então . -
Em
: , então .
Isto mostra queé uma assíntota vertical com sinais opostos dos dois lados. -
Quando
, o termo dominante é , logo tanto para quanto para .
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão):
- Trace o eixo
e assinale que é uma linha que não pode ser tocada (assíntota vertical). À esquerda de a função tende a quando se aproxima de ; à direita tende a . - No ramo
: -
é decrescente em todo . -
é côncava para cima em , passa por (ponto de inflexão), depois fica côncava para baixo em e vai para ao se aproximar de . - À esquerda, quando
, , então o ramo vem de cima, decresce, curva para cima, passa por e segue decrescendo, curvando para baixo, até em .
-
- No ramo
: - Ao aproximar de
, . - Em
a função é decrescente e é côncava para cima (então desce de com curvatura para cima). - Em
tem um mínimo local com valor . - Para
a função cresce e continua côncava para cima, subindo para conforme .
- Ao aproximar de
- Marque no esboço:
- Assíntota vertical em
. - Ponto de inflexão
. - Mínimo local
. - Comportamento
para .
- Assíntota vertical em
Resposta
Crescimento:
Decrescimento: e
Concavidade para cima: e
Concavidade para baixo:
Ponto de mínimo local: , valor
Ponto de inflexão:
Assíntota vertical:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de mínimo local:
Ponto de inflexão:
Assíntota vertical: