Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
g(x)=x \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função g definida por
g(x)=x\cdot e^{x}.
Informações relevantes dadas:
\,g(x)=x e^{x} para todo x\in\mathbb{R} (domínio é todos os reais). Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa crescer ou decrescer para uma função: se a derivada g'(x) é positiva em um intervalo, a função é crescente ali; se g'(x) é negativa, a função é decrescente. Por isso o passo seguinte é calcular g'(x). Aqui precisamos usar a regra do produto para derivadas: se \,u(x) e \,v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Também precisamos saber que a derivada de e^{x} é ela mesma:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Não se assuste: essas duas são as únicas coisas de que precisamos para derivar g(x)=x\cdot e^{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto a g(x)=x\cdot e^{x}, tome u(x)=x e v(x)=e^{x}. Então u'(x)=1 e v'(x)=e^{x}. Pela regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}.
Fatorando e^{x} (que facilita a análise),
g'(x)=e^{x}\bigl(1+x\bigr).

Passo 4

Agora encontramos os pontos críticos onde g'(x)=0 ou onde g'(x) não está definida. Aqui g'(x) está definida para todo x, porque e^{x} é definida para todo real. Solvemos
e^{x}\bigl(1+x\bigr)=0.
Sabemos que e^{x}>0 para todo x, então a única forma de o produto ser zero é
1+x=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Portanto o único ponto onde a derivada se anula é x=-1.

Passo 5

Precisamos agora analisar o sinal de g'(x)=e^{x}(1+x) para x<-1 e para x>-1.
  • Como e^{x}>0 sempre, o sinal de g'(x) é o mesmo do fator (1+x).
  • Se x<-1, então 1+x<0, logo g'(x)<0.
  • Se x>-1, então 1+x>0, logo g'(x)>0.
    No ponto x=-1 temos g'(-1)=0. Logo a derivada muda de negativa para positiva ao passar por x=-1, o que indica que a função passa de decrescente para crescente nesse ponto (mínimo local).

Passo 6

Resumindo a análise de sinais:
  • Em (-\infty,-1) temos g'(x)<0, então g é decrescente em (-\infty,-1).
  • Em (-1,\infty) temos g'(x)>0, então g é crescente em (-1,\infty).
Observação prática: não precisamos de calculadora porque usamos propriedades gerais — e^{x} é sempre positiva — para decidir o sinal de g'(x).

Resposta

Crescente em (-1,\infty).
Decrescente em (-\infty,-1).

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