Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
g(x)=x \cdot e^{x}
g(x)=x \cdot e^{x}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função
definida por
Informações relevantes dadas:
para todo
(domínio é todos os reais). Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa crescer ou decrescer para uma função: se a derivada
é positiva em um intervalo, a função é crescente ali; se
é negativa, a função é decrescente. Por isso o passo seguinte é calcular
. Aqui precisamos usar a regra do produto para derivadas: se
e
são funções, então
Também precisamos saber que a derivada de
é ela mesma:
Não se assuste: essas duas são as únicas coisas de que precisamos para derivar
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto a
, tome
e
. Então
e
. Pela regra do produto:
Fatorando
(que facilita a análise),
Passo 4
Agora encontramos os pontos críticos onde
ou onde
não está definida. Aqui
está definida para todo
, porque
é definida para todo real. Solvemos
Sabemos que
para todo
, então a única forma de o produto ser zero é
Portanto o único ponto onde a derivada se anula é
.
Passo 5
Precisamos agora analisar o sinal de
para
e para
.
- Como
sempre, o sinal de é o mesmo do fator . - Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
No pontotemos . Logo a derivada muda de negativa para positiva ao passar por , o que indica que a função passa de decrescente para crescente nesse ponto (mínimo local).
Passo 6
Resumindo a análise de sinais:
- Em
temos , então é decrescente em . - Em
temos , então é crescente em .
Observação prática: não precisamos de calculadora porque usamos propriedades gerais —
é sempre positiva — para decidir o sinal de
.
Resposta
Crescente em
.
Decrescente em .
Decrescente em