Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4 x+7}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+7}}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é 1/\sqrt{x^{2}+4x+7}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou uma expressão fechada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+7}}. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Primeiro passo prático: completar o quadrado no polinômio do radicando, porque isso transforma a expressão em uma forma padrão que conhecemos bem.
Calculamos
x^{2}+4x+7 = (x^{2}+4x+4)+3 = (x+2)^{2}+3.
Explicação do procedimento: completar o quadrado consiste em escrever x^{2}+4x como (x+2)^{2}-4, e ao adicionar 7 obtemos (x+2)^{2}+3. Essa forma é útil porque temos uma soma de um quadrado com uma constante positiva.

Passo 3

Fazemos a substituição simples que centraliza o quadrado:
u = x+2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Com isso a integral fica
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+3}}\,du.
Nota: aqui identificamos a^{2}=3, logo a=\sqrt{3}. Estamos diante da forma padrão \int \dfrac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\,du.

Passo 4

Apresento a fórmula padrão e explico por que ela vale. Fórmula conhecida:
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\,du = \ln\!\left|u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\right| + C,
onde a>0 e C é constante de integração.
Derivação rápida (para você acreditar na fórmula): seja G(u)=\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\big). Diferenciando,
G'(u)=\frac{1}{u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\left(1+\frac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\right).
Colocando sobre um denominador comum:
G'(u)=\frac{\sqrt{u^{2}+a^{2}}+u}{\big(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\big)\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Portanto G'(u)=1/\sqrt{u^{2}+a^{2}}, confirmando a fórmula.
Outra forma equivalente usa a função inversa do seno hiperbólico:
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{u}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{u}{a}+\sqrt{1+\frac{u^{2}}{a^{2}}}\right),
que é igual à expressão anterior até uma constante (diferença de \ln a). Assim as duas maneiras são equivalentes como primitiva.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=\sqrt{3} e u=x+2, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+7}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+3}}\,du = \ln\!\left|u+\sqrt{u^{2}+3}\right| + C.
Voltando para x:
\ln\!\left|x+2+\sqrt{(x+2)^{2}+3}\right| + C
e lembrando que (x+2)^{2}+3=x^{2}+4x+7, uma forma final é
\ln\!\left|x+2+\sqrt{x^{2}+4x+7}\right| + C.

Passo 6

Também escrevo a forma com \operatorname{arsinh}, que às vezes é mais compacta:
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right)+C,
porque, como mostrado, \operatorname{arsinh}(t)=\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}+1}\big) e isso gera a mesma primitiva até constante.

Resposta

\ln\!\left|x+2+\sqrt{x^{2}+4x+7}\right|+C
\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{x+2}{\sqrt{3}}\right)+C

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