Calcule as seguintes integrais: \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4 x+7}} d x
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+7}}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é 1/\sqrt{x^{2}+4x+7}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou uma expressão fechada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+7}}. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado no polinômio do radicando, porque isso transforma a expressão em uma forma padrão que conhecemos bem.
Calculamos
x^{2}+4x+7 = (x^{2}+4x+4)+3 = (x+2)^{2}+3.
Explicação do procedimento: completar o quadrado consiste em escrever x^{2}+4x como (x+2)^{2}-4, e ao adicionar 7 obtemos (x+2)^{2}+3. Essa forma é útil porque temos uma soma de um quadrado com uma constante positiva.
Passo 3
Fazemos a substituição simples que centraliza o quadrado:
u = x+2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Com isso a integral fica
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+3}}\,du.
Nota: aqui identificamos a^{2}=3, logo a=\sqrt{3}. Estamos diante da forma padrão \int \dfrac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\,du.
Passo 4
Apresento a fórmula padrão e explico por que ela vale. Fórmula conhecida: