Seja h:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e derivável em todos os pontos de (a, b). Verifique que se h^{\prime}(x)=0 para todo x em ( a, b ), então h é uma função constante. (Dica: use o Teorema do Valor Médio)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função h:[a,b]\to\mathbb{R} é contínua em [a,b].
  • A função h é derivável em todos os pontos de (a,b).
  • Para todo x\in(a,b) vale h'(x)=0.
O que se pede: mostrar que h é uma função constante (ou seja, que existe um valor C tal que h(x)=C para todo x\in[a,b]).

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) e explicar o que ele diz, porque é a ferramenta que a dica indica.
Enunciado do Teorema do Valor Médio:
Se f é contínua em [u,v] e derivável em (u,v), então existe pelo menos um ponto c\in(u,v) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}.
Interpretação didática:
  • O lado direito \displaystyle\frac{f(v)-f(u)}{v-u} é a taxa média de variação de f entre u e v (ou seja, a inclinação da reta que liga (u,f(u)) e (v,f(v))).
  • O lado esquerdo f'\text{(c)} é a taxa instantânea de variação em c (a inclinação da tangente a f no ponto c).
    O TVM garante que em algum ponto c a inclinação instantânea coincide com a inclinação média.

Passo 3

Escolho dois pontos arbitrários x_1,x_2\in[a,b] com x_1<x_2. Note que a função h é contínua em [x_1,x_2] (porque é contínua em todo [a,b]) e derivável em (x_1,x_2) (porque é derivável em todo (a,b)). Portanto as hipóteses do TVM valem para a função h no intervalo [x_1,x_2].
Aplicando o TVM a h em [x_1,x_2] obtemos que existe algum ponto c\in(x_1,x_2) tal que
h'\text{(c)}=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}.

Passo 4

Pelo hipótese do enunciado sabemos que h'(x)=0 para todo x\in(a,b). Em particular, para o ponto c\in(x_1,x_2) acima temos h'\text{(c)}=0. Substituindo na igualdade do TVM:
0=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}.
Como x_2-x_1\neq 0, podemos multiplicar ambos os lados por x_2-x_1 e obter
h(x_2)-h(x_1)=0.
Logo
h(x_2)=h(x_1).

Passo 5

Mostramos que para quaisquer x_1,x_2\in[a,b] vale h(x_2)=h(x_1). Isso significa que todos os valores de h no intervalo [a,b] são iguais entre si. Portanto existe uma constante C tal que h(x)=C para todo x\in[a,b]. Em outras palavras, h é constante em [a,b].
Intuição rápida para guardar na prova: derivada zero em todos os pontos significa que a inclinação local da curva é sempre zero — a curva não sobe nem desce em nenhum lugar — então só pode ser uma reta horizontal. E uma reta horizontal corresponde a uma função constante. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

h é constante em [a,b].

Exercícios relacionados