Seja
uma função contínua e derivável em todos os pontos de
. Verifique que se
para todo
em (
), então
é uma função constante. (Dica: use o Teorema do Valor Médio)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é contínua em . - A função
é derivável em todos os pontos de . - Para todo
vale .
O que se pede: mostrar que
é uma função constante (ou seja, que existe um valor
tal que
para todo
).
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) e explicar o que ele diz, porque é a ferramenta que a dica indica.
Enunciado do Teorema do Valor Médio:
Se é contínua em
e derivável em
, então existe pelo menos um ponto
tal que
Se
Interpretação didática:
- O lado direito
é a taxa média de variação de entre e (ou seja, a inclinação da reta que liga e ). - O lado esquerdo
é a taxa instantânea de variação em (a inclinação da tangente a no ponto ).
O TVM garante que em algum pontoa inclinação instantânea coincide com a inclinação média.
Passo 3
Escolho dois pontos arbitrários
com
. Note que a função
é contínua em
(porque é contínua em todo
) e derivável em
(porque é derivável em todo
). Portanto as hipóteses do TVM valem para a função
no intervalo
.
Aplicando o TVM a
em
obtemos que existe algum ponto
tal que
Passo 4
Pelo hipótese do enunciado sabemos que
para todo
. Em particular, para o ponto
acima temos
. Substituindo na igualdade do TVM:
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
e obter
Logo
Passo 5
Mostramos que para quaisquer
vale
. Isso significa que todos os valores de
no intervalo
são iguais entre si. Portanto existe uma constante
tal que
para todo
. Em outras palavras,
é constante em
.
Intuição rápida para guardar na prova: derivada zero em todos os pontos significa que a inclinação local da curva é sempre zero — a curva não sobe nem desce em nenhum lugar — então só pode ser uma reta horizontal. E uma reta horizontal corresponde a uma função constante. Vai dar tudo certo na prova!