Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2-e^-x

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento e o esboço do gráfico da função
f(x)=2 - e^-x
Este é um problema de monotonicidade e análise de gráficos de funções reais; para determinar onde a função cresce ou decresce, vamos calcular a derivada f'(x) e estudar seu sinal. Em seguida, vamos identificar domínio, limites e assíntota para desenhar o esboço.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Usamos a regra da cadeia em
f(x)=2 - e^-x
Temos
f'(x)= -l(-1r)e^-x=e^-x

Passo 3

Como
e^-x>0
para todo xinR, concluímos que
f'(x)>0 em (-infty,infty).
Portanto, a função é estritamente crescente em toda a reta real e não há intervalo em que ela seja decrescente.

Passo 4

Agora identificamos elementos-chave para o esboço:
Domínio: R.
Limite quando xto-infty:
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(2 - e^-xr)=2 - infty=-infty
Limite quando xtoinfty:
limxtoinftyf(x)=2 - 0=2,
logo há assíntota horizontal y=2.
Intercepto em x=0:
f(0)=2 - e^0=2 - 1=1,
ou seja, o ponto (0,1) pertence ao gráfico.

Passo 5

Esboço aproximado do gráfico (eixo x horizontal, eixo y vertical):
y
\uparrow
| cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot assíntota y=2
| cdot
| cdot
| cdot
| cdot (0,1)
| cdot
| cdot+\hspace{0.3em}\rule{3em}{0.1ex}\rightarrow\ x
O gráfico cresce de -\infty (quando x\to -\infty ) e aproxima-se de y=2 por baixo conforme x\to \infty.

Resposta

A função é crescente em (-infty,infty) e não é decrescente em nenhum intervalo. O gráfico tem domínio R, assíntota horizontal y=2 e passa por (0,1).

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