Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento e o esboço do gráfico da função
Este é um problema de monotonicidade e análise de gráficos de funções reais; para determinar onde a função cresce ou decresce, vamos calcular a derivada
e estudar seu sinal. Em seguida, vamos identificar domínio, limites e assíntota para desenhar o esboço.
Passo 2
Calculemos a derivada de
. Usamos a regra da cadeia em
Temos
Passo 3
Como
para todo
, concluímos que
– em
.
Portanto, a função é estritamente crescente em toda a reta real e não há intervalo em que ela seja decrescente.
–
Portanto, a função é estritamente crescente em toda a reta real e não há intervalo em que ela seja decrescente.
Passo 4
Agora identificamos elementos-chave para o esboço:
Domínio: .
Limite quando :
Domínio:
Limite quando
Limite quando
:
logo há assíntota horizontal
.
Intercepto em :
Intercepto em
ou seja, o ponto
pertence ao gráfico.
Passo 5
Esboço aproximado do gráfico (eixo
horizontal, eixo
vertical):
\uparrow
| assíntota
|
|
|
|
|
| \hspace{0.3em}\rule{3em}{0.1ex}\rightarrow\ x
|
|
|
|
|
|
|
O gráfico cresce de -\infty (quando x\to -\infty ) e aproxima-se de y=2 por baixo conforme x\to \infty.
Resposta
A função é crescente em
e não é decrescente em nenhum intervalo. O gráfico tem domínio
, assíntota horizontal
e passa por
.