Se f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n3^n, ache f^prime(12) com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n,x^2n3^n
e pede f'l(tfrac12r) com quatro casas decimais.
O conteúdo envolve séries de potências (aqui uma série geométrica) e diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Reescrevendo a soma como série geométrica, note que
(-1)^nx^2n3^n =l(-x^23r)^n
Como l|-x^2/3r|<1 para |x|<raiz3, vale
f(x)=sumn=0^inftyl(-x^23r)^n =11-(-x^2/3) =11+x^23 =33+x^2

Passo 3

Podemos diferenciar o fechamento f(x)=3,(3+x^2)^-1 normalmente:
f'(x) =3cdot(-1),(3+x^2)^-2cdotddx(3+x^2) =-3,(3+x^2)^-2cdot2x =-6x(3+x^2)^2

Passo 4

Agora avaliaremos em x=tfrac12:
f'l(tfrac12r) =-6cdot12l(3+(12)^2r)^2 =-3l(3+tfrac14r)^2 =-3(tfrac134)^2 =-3tfrac16916 =-48169 approx -0,2840

Resposta

-0,2840

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