Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
. Esboce o gráfico.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de funções usando derivadas. Vamos precisar calcular a derivada
, encontrar os pontos críticos resolvendo
, analisar o sinal de
e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
A derivada de um polinômio indica a taxa de variação local da função. Usando a regra do poder temos:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
. Primeiro calculamos o discriminante
do quadrático:
Em seguida as raízes são dadas por:
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Como o coeficiente principal de
é positivo (3), o gráfico de
é uma parábola voltada para cima. Isso implica que
para
e
, e
para
.
Passo 5
Quando
, a função cresce; quando
, a função decresce. Assim concluímos:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Passo 6
Os pontos
e
são extremos locais. Avaliando
nesses pontos:
Como
cresce antes de
e decresce após,
é máximo local. Como
decresce antes de 1 e cresce depois,
é mínimo local.
Passo 7
Esboço do gráfico: trata-se de um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo e intercepto em
. A curva sobe até o máximo local em
, desce até o mínimo local em
e depois cresce indefinidamente.
Resposta
f é crescente em
e em
, e decrescente em
. Possui máximo local em
e mínimo local em
.