Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f(x)=x^3-2 x^2+x+2. Esboce o gráfico.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3 - 2x^2 + x + 2. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de funções usando derivadas. Vamos precisar calcular a derivada f'(x), encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, analisar o sinal de f'(x) e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

A derivada de um polinômio indica a taxa de variação local da função. Usando a regra do poder temos:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Primeiro calculamos o discriminante De do quadrático:
De
Em seguida as raízes são dadas por:
x = 4 pm raiz42 cdot 3 = 4 pm 26
Logo, os pontos críticos são x = tfrac13 e x = 1.

Passo 4

Como o coeficiente principal de f'(x) é positivo (3), o gráfico de f'(x) é uma parábola voltada para cima. Isso implica que f'(x)>0 para x e x>1, e f'(x)<0 para tfrac13.

Passo 5

Quando f'(x)>0, a função cresce; quando f'(x)<0, a função decresce. Assim concluímos:
  • f é crescente em ( -infty, tfrac13 ) e em (1, +infty).
  • f é decrescente em ( tfrac13, 1 ).

Passo 6

Os pontos x=tfrac13 e x=1 são extremos locais. Avaliando f nesses pontos:
fl(tfrac13r)=l(tfrac13r)^3 -2l(tfrac13r)^2 + tfrac13 +2 = 2 + tfrac427 = tfrac5827,
f(1)=1-2+1+2=2
Como f cresce antes de tfrac13 e decresce após, x=tfrac13 é máximo local. Como f decresce antes de 1 e cresce depois, x=1 é mínimo local.

Passo 7

Esboço do gráfico: trata-se de um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo e intercepto em f(0)=2. A curva sobe até o máximo local em l(tfrac13,tfrac5827r), desce até o mínimo local em (1,2) e depois cresce indefinidamente.

Resposta

f é crescente em ( -infty, tfrac13 ) e em (1, +infty), e decrescente em ( tfrac13, 1 ). Possui máximo local em l(tfrac13, tfrac5827r) e mínimo local em (1,2).

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