Use as E.C.R. para encontrar onde não existe
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(z) = 2x + i x y^{2} $, onde $ z = x + iy $. Nosso objetivo é usar as Equações de Cauchy-Riemann (ECR) para descobrir onde a derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe. Pra isso, vamos precisar separar a função nas partes real e imaginária e aplicar as ECR.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real $ u(x, y) $ e imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $:
Comparando com $ f(z) = 2x + i x y^{2} $, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser diferenciável em $ z $, as ECR precisam ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de $ u(x, y) = 2x $:
E as derivadas parciais de $ v(x, y) = x y^{2} $:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas nas ECR:
- Primeira ECR:
Então,
- Segunda ECR:
Então,
Passo 6
Vamos analisar as duas equações que obtivemos:
- $ 2 = 2x y $ simplifica para $ x y = 1 $
- $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
Isso é impossível, ou seja, não há valores de $ x $ e $ y $ que satisfaçam simultaneamente as duas equações.
Resposta
Portanto, não existe nenhum ponto $ z $ onde a derivada $ f^{\prime}(z) $ não exista para a função dada. Em outras palavras, a derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe em nenhuma parte do plano complexo para $ f(z) = 2x + i x y^{2} $.