Use as E.C.R. para encontrar onde não existe f^prime(z) :
f(z)=2 x+i x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(z) = 2x + i x y^{2} $, onde $ z = x + iy $. Nosso objetivo é usar as Equações de Cauchy-Riemann (ECR) para descobrir onde a derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe. Pra isso, vamos precisar separar a função nas partes real e imaginária e aplicar as ECR.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real $ u(x, y) $ e imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $:
u(x, y)
Comparando com $ f(z) = 2x + i x y^{2} $, temos:
v(x, y)
f(z)

Passo 3

Agora, vamos lembrar das Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser diferenciável em $ z $, as ECR precisam ser satisfeitas:
z
partial upartial x = partial vpartial y
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de $ u(x, y) = 2x $:
u(x, y) = 2x
partial upartial x = 2
E as derivadas parciais de $ v(x, y) = x y^{2} $:
partial upartial y = 0
v(x, y) = x y^2

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas nas ECR:
  1. Primeira ECR:
partial upartial x = 2 e partial vpartial y = 2x y
Então,
2 = 2x y
  1. Segunda ECR:
partial upartial y = 0 e -partial vpartial x = -y^2
Então,
0 = -y^2 implies y^2 = 0 implies y = 0

Passo 6

Vamos analisar as duas equações que obtivemos:
  1. $ 2 = 2x y $ simplifica para $ x y = 1 $
  2. $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
2 = 2x y
Isso é impossível, ou seja, não há valores de $ x $ e $ y $ que satisfaçam simultaneamente as duas equações.

Resposta

Portanto, não existe nenhum ponto $ z $ onde a derivada $ f^{\prime}(z) $ não exista para a função dada. Em outras palavras, a derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe em nenhuma parte do plano complexo para $ f(z) = 2x + i x y^{2} $.

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