Use as E.C.R. para encontrar onde não existe f^prime(z) :
f(z)=2 x y+i(x^2-y^2)

Passo 1

O exercício pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para determinar onde a derivada complexa de
f(z)=2xy+i(x²−y²)
não existe. Vamos precisar conhecer a decomposição u(x,y)+iv(x,y), calcular derivadas parciais e aplicar as E.C.R.

Passo 2

Escrevendo f(z)=u(x,y)+iv(x,y), identificamos:
u(x,y)=2xy
v(x,y)=x²−y²

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux=2y, uy=2x, vx=2x, vy=−2y

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann são
ux=vye uy=−vx
Substituindo as derivadas obtidas, temos:
2y=−2yRightarrow y=0,
2x=−2xRightarrow x=0

Passo 5

Como as E.C.R. só se satisfazem em (x,y)=(0,0) e as derivadas parciais são polinomiais (logo contínuas), concluímos que f’(z) existe apenas em z=0. Qualquer outro ponto falha em satisfazer as E.C.R.

Resposta

f’(z) não existe para todo z≠0.

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