Use as E.C.R. para encontrar onde não existe
:
Passo 1
O exercício pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para determinar onde a derivada complexa de
f(z)=2xy+i(x²−y²)
não existe. Vamos precisar conhecer a decomposição u(x,y)+iv(x,y), calcular derivadas parciais e aplicar as E.C.R.
f(z)=2xy+i(x²−y²)
não existe. Vamos precisar conhecer a decomposição u(x,y)+iv(x,y), calcular derivadas parciais e aplicar as E.C.R.
Passo 2
Escrevendo f(z)=u(x,y)+iv(x,y), identificamos:
u(x,y)=2xy
v(x,y)=x²−y²
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de u e v:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann são
Substituindo as derivadas obtidas, temos:
Passo 5
Como as E.C.R. só se satisfazem em (x,y)=(0,0) e as derivadas parciais são polinomiais (logo contínuas), concluímos que f’(z) existe apenas em z=0. Qualquer outro ponto falha em satisfazer as E.C.R.
Resposta
f’(z) não existe para todo z≠0.