Seja
.
Mostre que
é conservativo no plano todo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial
é conservativo em todo o plano. Isso está no conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e verificar se o nosso campo atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro,
:
Como
, a derivada de
em relação a
é:
Em seguida,
:
Como
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como
, o campo
satisfaz a condição para ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, que no nosso caso é todo o plano.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
é conservativo em todo o plano.