Seja F(x, y)=lang<= 1+sen y,(cos y)^3 sen y+x cos yrang<=.
Mostre que F é conservativo no plano todo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial F(x, y)=lang<= 1+sin y, (cos y)^3 sin y + x cos yrang<= é conservativo em todo o plano. Isso está no conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e verificar se o nosso campo atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F = lang<= P, Q rang<= é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, P = partial phipartial x e Q = partial phipartial y. Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é checar se a derivada parcial de Q em relação a x é igual à derivada parcial de P em relação a y:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 3

Vamos identificar P e Q do nosso campo F:
P = 1 + sin y
Q = (cos y)^3 sin y + x cos y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, partial Qpartial x:
Como Q = (cos y)^3 sin y + x cos y, a derivada de Q em relação a x é:
partial Qpartial x = partialpartial x [(cos y)^3 sin y] + partialpartial x [x cos y] = 0 + cos y = cos y
Em seguida, partial Ppartial y:
Como P = 1 + sin y, a derivada de P em relação a y é:
partial Ppartial y = partialpartial y [1 + sin y] = cos y

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Qpartial x = cos y
partial Ppartial y = cos y
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo F satisfaz a condição para ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, que no nosso caso é todo o plano.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F(x, y)=lang<= 1+sin y, (cos y)^3 sin y + x cos yrang<= é conservativo em todo o plano.

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