Calcule os limites
\lim _{y \rightarrow \infty} \frac{y^{4}-3 y^{2}+y}{y^{3}-y+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{y \to \infty} \frac{y^{4}-3y^{2}+y}{y^{3}-y+2}.
Este é um problema de limite de função racional no infinito. Para resolvê-lo, vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de y que aparece, ou seja, y^{3}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por y^{3}, obtemos
\frac{y^{4}-3y^{2}+y}{y^{3}-y+2} = \frac{y^{3}\bigl(y - 3y^{-1} + y^{-2}\bigr)}{y^{3}\bigl(1 - y^{-2} + 2y^{-3}\bigr)} = \frac{y - 3y^{-1} + y^{-2}}{1 - y^{-2} + 2y^{-3}}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento das partes que envolvem potências negativas de y quando y\to\infty:
\lim_{y\to\infty}y^{-1}=0,\quad \lim_{y\to\infty}y^{-2}=0,\quad \lim_{y\to\infty}y^{-3}=0.
Logo, a expressão simplificada tende a
\frac{\bigl(y - 3\cdot0 + 0\bigr)}{1 - 0 + 0} = \frac{y}{1} = y.

Passo 4

Como y\to\infty, a quantidade y cresce sem limite superior. Portanto, a fração original cresce sem bound e seu limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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