Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
© f(x)=3 x^3-9 x Resp: Crescente: ]-infty ;-1] ou ] 1 ;+infty] Decrescente: [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a função f(x)=3x³–9x cresce ou decresce e, usando o teste da derivada primeira, classificar os pontos críticos como máximo ou mínimo local. O conteúdo aqui é o teste da derivada primeira: derivar, achar zeros, analisar sinal da derivada.

Passo 2

Derivamos a função. Como f(x)=3x³–9x, pela regra potência e linearidade temos
f'(x)=9x²9=9(x²1)=9(x1)(x+1)²²

Passo 3

Os pontos críticos aparecem quando f’(x)=0, ou seja, em x=–1 e x=1. São esses os candidatos a máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Para ver onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de f’(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
• Em x<–1 (por exemplo x=–2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (–∞,–1).
• Em –1<x<1 (por exemplo x=0), temos x²–1<0, logo f’(x)<0 → f decresce em (–1,1).
• Em x>1 (por exemplo x=2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (1,∞).

Passo 5

Para classificar os pontos críticos, observamos a mudança de sinal de f’:
• Em x=–1 a derivada vai de positiva a negativa → ponto de máximo local em x=–1.
• Em x=1 a derivada vai de negativa a positiva → ponto de mínimo local em x=1.

Resposta

f cresce em (-infty,-1)cup(1,infty) e decresce em (-1,1). Há máximo local em x=–1 e mínimo local em x=1.

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