Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
©
Resp: Crescente:
ou
Decrescente:
©
Passo 1
O enunciado pede para encontrar onde a função f(x)=3x³–9x cresce ou decresce e, usando o teste da derivada primeira, classificar os pontos críticos como máximo ou mínimo local. O conteúdo aqui é o teste da derivada primeira: derivar, achar zeros, analisar sinal da derivada.
Passo 2
Derivamos a função. Como f(x)=3x³–9x, pela regra potência e linearidade temos
Passo 3
Os pontos críticos aparecem quando f’(x)=0, ou seja, em x=–1 e x=1. São esses os candidatos a máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Para ver onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de f’(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
• Em x<–1 (por exemplo x=–2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (–∞,–1).
• Em –1<x<1 (por exemplo x=0), temos x²–1<0, logo f’(x)<0 → f decresce em (–1,1).
• Em x>1 (por exemplo x=2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (1,∞).
• Em x<–1 (por exemplo x=–2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (–∞,–1).
• Em –1<x<1 (por exemplo x=0), temos x²–1<0, logo f’(x)<0 → f decresce em (–1,1).
• Em x>1 (por exemplo x=2), temos x²–1>0, logo f’(x)>0 → f cresce em (1,∞).
Passo 5
Para classificar os pontos críticos, observamos a mudança de sinal de f’:
• Em x=–1 a derivada vai de positiva a negativa → ponto de máximo local em x=–1.
• Em x=1 a derivada vai de negativa a positiva → ponto de mínimo local em x=1.
• Em x=–1 a derivada vai de positiva a negativa → ponto de máximo local em x=–1.
• Em x=1 a derivada vai de negativa a positiva → ponto de mínimo local em x=1.
Resposta
f cresce em
e decresce em
. Há máximo local em x=–1 e mínimo local em x=1.