Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
(d) f(x)=x-e^x Resp: Crescente: ]-infty, 0[ Decrescente:[0; +infty]

Passo 1

Temos a função f(x)=x-e^x e o objetivo é determinar onde ela cresce e decresce usando o teste da derivada primeira, além de classificar o ponto crítico obtido.

Passo 2

Para aplicar o teste da derivada, calculamos f'(x). Como a derivada de x é 1 e a de e^x é e^x, temos f'(x)=1-e^x. O ponto crítico surge ao resolvermos f'(x)=0, isto é, 1-e^x=0 leva a e^x=1 e portanto x=0.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x)=1-e^x: para x<0, e^x<1 implica f'(x)>0, então f é crescente em x>0; para e^x>1, f'(x)<0 implica f, logo é decrescente em .

Passo 4

Aplicando o teste da derivada primeira no ponto crítico x=0: antes de 0 temos f'(x)>0 e depois de 0 temos f'(x)<0. Isso caracteriza um máximo local em x=0.

Resposta

Crescente em ]-infty,0[; Decrescente em [0,+infty]; o ponto crítico x=0 é um máximo local.

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