Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
(f) f(x)=ln (x^2+2 x+2). Resp: -1

Passo 1

Temos a função f(x)=lnl(x^2+2x+2r). O conteúdo é derivadas e otimização de funções. Vamos usar a regra da cadeia para obter f'(x) e o teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico.

Passo 2

Para derivar f, note que é uma função composta f(x)=ln(u) com u=x^2+2x+2. Então
f'(x)=u'u=2x+2x^2+2x+2

Passo 3

Determinamos o ponto crítico resolvendo f'(x)=0. Como o denominador nunca zera, basta
2x+2=0implies x=-1

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de f usando a regra do quociente:
f''(x)=ddxl(2x+2x^2+2x+2r)=-2x(x+2)(x^2+2x+2)^2

Passo 5

Para classificar, avaliamos f''(-1):
f''(-1)=-2cdot(-1)cdot(-1+2)(1-2+2)^2=21=2>0 Isso indica que em x=-1 há mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é x = -1, que é um mínimo local.

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