Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
(a) f(x)=5+54 x-2 x^3. Resp: -3 ou 3

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x)=5+54x−2x³ e o que a gente precisa é achar os pontos onde f′(x)=0 (os chamados pontos críticos) e depois usar a segunda derivada para decidir se cada ponto é máximo ou mínimo local. O conteúdo aqui é derivadas e teste da segunda derivada.

Passo 2

Derivando f e igualando a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de f é
f'(x)=ddx(5+54x-2x^3)=54-6x^2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
54-6x^2=0
6x^2=54
x^2=9
x=pm3

Passo 3

Usando a segunda derivada para classificar cada ponto.
A segunda derivada é
f''(x)=ddx(54-6x^2)=-12x
Avaliações:
f''(3)=-12cdot3=-36<0Rightarrow máximo local at x=3 á
f''(-3)=-12cdot(-3)=36>0Rightarrow mínimo local at x=-3 í

Resposta

Os pontos críticos são x=3 (máximo local) e x=−3 (mínimo local).

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