Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
(d) f(x)=x^4-8 x^2+2 Resp: -2,0 ou 2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x)=x^4-8x^2+2 e classificá-los usando derivadas (conteúdo: derivada primeira para critério de pontos críticos e derivada segunda para teste de concavidade).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira f'(x) para encontrar onde ela se anula:

Passo 3

A derivada de f(x)=x^4-8x^2+2 é dada por
f'(x)=4x^3-16x

Passo 4

Agora achamos as raízes de f'(x)=0:
4x^3-16x=4x(x^2-4)=0
Logo as soluções são x=0, x=2 e x=-2, que são os candidatos a pontos críticos.

Passo 5

Para classificar cada ponto, precisamos da derivada segunda f''(x):
f''(x)=12x^2-16

Passo 6

Avaliamo-la em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f''(0)=12cdot0^2-16=-16<0 → concavidade para baixo → máximo local.
  • Em x=2: f''(2)=12cdot4-16=48-16=32>0 → concavidade para cima → mínimo local.
  • Em x=-2: f''(-2)=12cdot4-16=32>0 → mínimo local.

Passo 7

Opcionalmente, calculamos os valores de f nesses pontos:
  • f(0)=2
  • f(2)=2-32+16=-14
  • f(-2)=-14
    Mas para a classificação bastou o teste da segunda derivada.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
  • (0,2): máximo local
  • (2,-14): mínimo local
  • (-2,-14): mínimo local

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