Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
(d)
Resp:
ou 2
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los usando derivadas (conteúdo: derivada primeira para critério de pontos críticos e derivada segunda para teste de concavidade).
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
para encontrar onde ela se anula:
Passo 3
A derivada de
é dada por
Passo 4
Agora achamos as raízes de
:
Logo as soluções são
,
e
, que são os candidatos a pontos críticos.
Passo 5
Para classificar cada ponto, precisamos da derivada segunda
:
Passo 6
Avaliamo-la em cada ponto crítico:
- Em
: → concavidade para baixo → máximo local. - Em
: → concavidade para cima → mínimo local. - Em
: → mínimo local.
Passo 7
Opcionalmente, calculamos os valores de
nesses pontos:
-
-
-
Mas para a classificação bastou o teste da segunda derivada.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
-
: máximo local -
: mínimo local -
: mínimo local