Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) f(x)=x+1x
(d) f(x)=e^xx
(b) f(x)=2-e^-x
(e) f(x)=x e^-x
© f(x)=x^3-x^2+1x
(f) f(x)=x+1x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, para cada função dada, os intervalos em que ela cresce e decresce usando derivadas. O conteúdo envolve cálculo de derivada e análise de sinal para determinar monotonicidade.

Passo 2

Lembrando que uma função f é crescente quando f’(x)>0 e decrescente quando f’(x)<0. Vamos derivar cada f e estudar o sinal de f’ no domínio.

Passo 3

Para (a) f(x)=x+1/x, temos domínio x≠0. Derivando: f’(x)=1−1/x²=(x²−1)/x². Como x²>0, o sinal de f’ é o de x²−1. Logo f’>0 se |x|>1 e f’<0 se |x|<1.

Passo 4

Para (b) f(x)=2−e^{−x}, domínio ℝ. Derivando: f’(x)=e^{−x}>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente em ℝ e não decresce em nenhum intervalo.

Passo 5

Para © f(x)=(x³−x²+1)/x, domínio x≠0. Derivando por quociente: f’(x)=(2x³−x²−1)/x². O numerador f̃(x)=2x³−x²−1 tem raiz real x=1 (os outros complexos), então f̃<0 em x<1 e f̃>0 em x>1. Como x²>0, f’ segue o sinal de f̃.

Passo 6

Para (d) f(x)=e^x/x, domínio x≠0. Derivando por quociente: f’(x)=e^x(x−1)/x². Temos e^x>0 e x²>0, logo o sinal de f’ é o de (x−1).

Passo 7

Para (e) f(x)=x e^{−x}, domínio ℝ. Derivando por produto: f’(x)=e^{−x}(1−x). Como e^{−x}>0, o sinal de f’ é o de (1−x), isto é, positivo para x<1 e negativo para x>1.

Passo 8

Para (f) f(x)=x+1/x é idêntica à (a), então os intervalos de crescimento e decrescimento são os mesmos do item (a).

Resposta

a) f(x)=x+1/x cresce em (-1,0)cup(0,1) e decresce em R.
b) f(x)=2-e^{-x} cresce em (1,infty) e não decresce em nenhum intervalo.
c) f(x)=(x3-x2+1)/x cresce em (-infty,0)cup(0,1) e decresce em (1,infty).
d) f(x)=e^{x}/x cresce em (-infty,0)cup(0,1) e decresce em (-infty,1).
e) f(x)=x e^{-x} cresce em (1,infty) e decresce em (-1,0)cup(0,1).
f) f(x)=x+1/x (mesmo de (a)) cresce em e decresce em .

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