Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos, para cada função dada, os intervalos em que ela cresce e decresce usando derivadas. O conteúdo envolve cálculo de derivada e análise de sinal para determinar monotonicidade.
Passo 2
Lembrando que uma função f é crescente quando f’(x)>0 e decrescente quando f’(x)<0. Vamos derivar cada f e estudar o sinal de f’ no domínio.
Passo 3
Para (a) f(x)=x+1/x, temos domínio x≠0. Derivando: f’(x)=1−1/x²=(x²−1)/x². Como x²>0, o sinal de f’ é o de x²−1. Logo f’>0 se |x|>1 e f’<0 se |x|<1.
Passo 4
Para (b) f(x)=2−e^{−x}, domínio ℝ. Derivando: f’(x)=e^{−x}>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente em ℝ e não decresce em nenhum intervalo.
Passo 5
Para © f(x)=(x³−x²+1)/x, domínio x≠0. Derivando por quociente: f’(x)=(2x³−x²−1)/x². O numerador f̃(x)=2x³−x²−1 tem raiz real x=1 (os outros complexos), então f̃<0 em x<1 e f̃>0 em x>1. Como x²>0, f’ segue o sinal de f̃.
Passo 6
Para (d) f(x)=e^x/x, domínio x≠0. Derivando por quociente: f’(x)=e^x(x−1)/x². Temos e^x>0 e x²>0, logo o sinal de f’ é o de (x−1).
Passo 7
Para (e) f(x)=x e^{−x}, domínio ℝ. Derivando por produto: f’(x)=e^{−x}(1−x). Como e^{−x}>0, o sinal de f’ é o de (1−x), isto é, positivo para x<1 e negativo para x>1.
Passo 8
Para (f) f(x)=x+1/x é idêntica à (a), então os intervalos de crescimento e decrescimento são os mesmos do item (a).
Resposta
a) f(x)=x+1/x cresce em
e decresce em
.
b) f(x)=2-e^{-x} cresce em e não decresce em nenhum intervalo.
c) f(x)=(x3-x2+1)/x cresce em e decresce em
.
d) f(x)=e^{x}/x cresce em e decresce em
.
e) f(x)=x e^{-x} cresce em e decresce em
.
f) f(x)=x+1/x (mesmo de (a)) cresce em e decresce em
.
b) f(x)=2-e^{-x} cresce em
c) f(x)=(x3-x2+1)/x cresce em
d) f(x)=e^{x}/x cresce em
e) f(x)=x e^{-x} cresce em
f) f(x)=x+1/x (mesmo de (a)) cresce em