Determine em quais intervalos do domínio a função assume valores positivose em quais ela assume valores negativos:
Passo 1
O enunciado pede para descobrir onde a função racional f(x) assume valores positivos e onde assume valores negativos. O conteúdo envolve estudo de sinais de uma função do tipo
, para o qual precisamos determinar o domínio, as raízes do numerador e os pontos de descontinuidade (zeros do denominador) antes de montar o quadro de sinais.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio. Como a função é
, o denominador não pode ser zero. Logo,
Portanto o domínio é
Passo 3
Em seguida encontramos onde o numerador é zero para descobrir quando
muda de sinal por causa do numerador. Resolvendo
temos
Esse ponto não anula o denominador, então ele também faz parte do domínio e marca uma troca de sinal.
Passo 4
Agora fazemos o quadro de sinais usando os pontos críticos
e
. Para cada fator:
• é negativo se
e positivo se
.
• é negativo se
e positivo se
.
•
•
Passo 5
Montando o sinal de
nos intervalos delimitados por
e
:
- Em
: numerador negativo, denominador negativo ⇒ . - Em
: numerador positivo, denominador negativo ⇒ . - Em
: numerador positivo, denominador positivo ⇒ .
Note que emtemos e em a função não está definida.
Passo 6
Reunindo tudo, a função é positiva em
e em
, e negativa em
.
Resposta
f(x)>0 em (-∞,-3) ∪ (2,∞) e f(x)<0 em (-3,2).