Determine em quais intervalos do domínio a função assume valores positivose em quais ela assume valores negativos:
f(x)=x+3x-2

Passo 1

O enunciado pede para descobrir onde a função racional f(x) assume valores positivos e onde assume valores negativos. O conteúdo envolve estudo de sinais de uma função do tipo f(x)=n(x)d(x), para o qual precisamos determinar o domínio, as raízes do numerador e os pontos de descontinuidade (zeros do denominador) antes de montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio. Como a função é f(x)=x+3x-2, o denominador não pode ser zero. Logo,
x-2neq0implies xneq2
Portanto o domínio é Rsetminus2.

Passo 3

Em seguida encontramos onde o numerador é zero para descobrir quando f(x) muda de sinal por causa do numerador. Resolvendo x+3=0 temos
x=-3
Esse ponto não anula o denominador, então ele também faz parte do domínio e marca uma troca de sinal.

Passo 4

Agora fazemos o quadro de sinais usando os pontos críticos -3 e 2. Para cada fator:
x+3 é negativo se x<-3 e positivo se x>-3.
x-2 é negativo se x<2 e positivo se x>2.

Passo 5

Montando o sinal de f(x)=x+3x-2 nos intervalos delimitados por -3 e 2:
  • Em (-infty,-3): numerador negativo, denominador negativo ⇒ f(x)>0.
  • Em (-3,2): numerador positivo, denominador negativo ⇒ f(x)<0.
  • Em (2,+infty): numerador positivo, denominador positivo ⇒ f(x)>0.
    Note que em x=-3 temos f(-3)=0 e em x=2 a função não está definida.

Passo 6

Reunindo tudo, a função é positiva em (-infty,-3) e em (2,infty), e negativa em (-3,2).

Resposta

f(x)>0 em (-∞,-3) ∪ (2,∞) e f(x)<0 em (-3,2).

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