Determine os seguintes limites.
lim x +infty(1-1ln (x))^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+infty(1-1ln(x))^x
Isso é uma forma do tipo 1^infty, então vamos usar a estratégia de tomar logaritmo e converter em exponencial para resolver.

Passo 2

Definimos
y = (1-1ln(x))^x
e estudamos
ln(y) = x ln!l(1-1ln(x)r)

Passo 3

Para xtoinfty temos tfrac1ln(x)to0. Usando a expansão
ln(1-u) = -u - u^22 + o(u^2),
com u = 1ln(x), obtemos
ln(y) = xl(-tfrac1ln(x) - tfrac12(ln(x))^2 + ol(tfrac1(ln x)^2r)r) = -xln(x) - x2(ln(x))^2 + ol(x(ln x)^2r)
Como dfracxln(x)to+infty, segue que ln(y)to -infty.

Passo 4

Se ln(y)to -infty, então yto0. Portanto
limxto+infty(1-1ln(x))^x = 0

Resposta

0

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