Determine os intervalos nos quais f(x)= e^-x^2 / 2 é crescente e nos quais é decrescente.

Passo 1

A questão pede para identificar em quais intervalos a função f(x) = e{−x{2}/2} está crescendo ou decrescendo. O conteúdo principal aqui é o teste de monotonicidade usando a derivada: precisamos calcular f′(x) e estudar o sinal dessa derivada.

Passo 2

Para encontrar f′(x), usamos a regra da cadeia. Escrevendo o expoente como g(x)=−x^{2}/2, temos f(x)=e^{g(x)}. Assim,
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x)
onde g’(x)=−x. Logo,
f'(x)=e^-x^2/2cdot(-x)= -x,e^-x^2/2

Passo 3

Como e^-x^2/2>0 para todo x, o sinal de f′(x) vem apenas do fator −x. Isso significa que f′(x)>0 quando −x>0 (ou seja, x<0) e f′(x)<0 quando −x<0 (ou seja, x>0).

Passo 4

Concluímos então que f é crescente no intervalo em que f′(x)>0, isto é, para x<0, e decrescente onde f′(x)<0, para x>0.

Resposta

f é crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, +∞).

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