Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.
Passo 1
A questão pede para identificar em quais intervalos a função f(x) = e{−x{2}/2} está crescendo ou decrescendo. O conteúdo principal aqui é o teste de monotonicidade usando a derivada: precisamos calcular f′(x) e estudar o sinal dessa derivada.
Passo 2
Para encontrar f′(x), usamos a regra da cadeia. Escrevendo o expoente como g(x)=−x^{2}/2, temos f(x)=e^{g(x)}. Assim,
onde g’(x)=−x. Logo,
Passo 3
Como
para todo x, o sinal de f′(x) vem apenas do fator −x. Isso significa que f′(x)>0 quando −x>0 (ou seja, x<0) e f′(x)<0 quando −x<0 (ou seja, x>0).
Passo 4
Concluímos então que f é crescente no intervalo em que f′(x)>0, isto é, para x<0, e decrescente onde f′(x)<0, para x>0.
Resposta
f é crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, +∞).