Exercício 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=e^x, y=x, x=1, x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas y= e^x, y=x e pelas retas verticais x=1 e x=2. O conteúdo principal é cálculo de área por integral definida, e vamos precisar identificar a função superior, montar a integral da diferença e usar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Para ver quem fica por cima, comparemos y= e^x e y=x no intervalo [1,2]. Em x=1, e^1approx2,72>1 e em x=2, e^2approx7,39>2. Como e^x>x em todo o intervalo, essa será a curva superior.

Passo 3

A área A é dada pela integral da diferença entre as funções superior e inferior:
A=integral1^2l( e^x - xr),dx

Passo 4

Para calcular essa integral, achamos uma antiderivada de e^x - x. Sabemos que
integral e^x,dx= e^xeintegral x,dx=x^22

Passo 5

Logo, uma antiderivada de e^x - x é
$$F(x)=\mathrm e^x - \frac{x^2}{2}.
$$

Passo 6

Aplicando o teorema fundamental do cálculo,
A=F(2)-F(1)=l( e^2 - 2^22r)-l( e^1 - 1^22r)

Passo 7

Fazendo as contas:
A=( e^2 -2)-( e-tfrac12)= e^2 - e - 32

Resposta

e^2 - e - tfrac32

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