Exercício 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
. O conteúdo principal é cálculo de área por integral definida, e vamos precisar identificar a função superior, montar a integral da diferença e usar o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Para ver quem fica por cima, comparemos
e
no intervalo
. Em
,
e em
,
. Como
em todo o intervalo, essa será a curva superior.
Passo 3
A área
é dada pela integral da diferença entre as funções superior e inferior:
Passo 4
Para calcular essa integral, achamos uma antiderivada de
. Sabemos que
Passo 5
Logo, uma antiderivada de
é
$$F(x)=\mathrm e^x - \frac{x^2}{2}.
$$
Passo 6
Aplicando o teorema fundamental do cálculo,
Passo 7
Fazendo as contas: