Exercício 3 Calcule a integral indefinida.
integral e^u sen(e^u) d u

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral indefinida integral e^u,sin(e^u),du. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, onde trocamos a variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Reparando que dentro de sin aparece e^u, fazemos a substituição t = e^u. Diferenciando ambos os lados, obtemos dt = e^u,du, ou seja, e^u,du = dt. Substituindo na integral original, transformamos
integral e^u,sin(e^u),du = integral sin(t),dt, que é muito mais simples de calcular.

Passo 3

Agora basta integrar sin(t). Sabemos que a derivada de cos(t) é -sin(t), logo
integral sin(t),dt = -cos(t) + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original usando t = e^u. Assim, a primitiva fica
-cos(e^u) + C

Resposta

-\cos(e^u) + C

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