Determine os intervalos nos quais f(x)=ln xx seja côncavo para cima em todos os pontos. é crescente e nos quais é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=ln xx em três aspectos: onde ela é crescente, onde é decrescente e em que intervalo ela é côncava para cima. O conteúdo envolvido é estudo de função (monotonia e concavidade) usando derivadas de primeira e segunda ordem. Como f(x) está definida somente para x>0, vamos trabalhar no domínio (0,infty).

Passo 2

Para estudar a monotonia, calculamos a derivada primeira de f(x). Usando a regra do produto em f(x)=ln(x)cdot x^-1 ou a regra do quociente, obtemos:
f'(x)=1-ln(x)x^2

Passo 3

O sinal de f'(x) indica se f é crescente ou decrescente. Como x^2>0 para todo x>0, basta analisar 1-ln(x):
  • f'(x)>0 se 1-ln(x)>0, isto é ln(x)<1 ou x.
  • f'(x)<0 se 1-ln(x)<0, isto é ln(x)>1 ou x>e.
    Assim, f é crescente em (0,e) e decrescente em (e,infty).

Passo 4

Para estudar a concavidade, calculamos a derivada segunda. A partir de f'(x)= (1-ln(x)),x^-2 e usando derivação de produto, chegamos a:
f''(x)=2ln(x)-3x^3

Passo 5

O sinal de f''(x) define a concavidade. Como x^3>0 para x>0, basta ver 2ln(x)-3:
  • f''(x)>0 se 2ln(x)-3>0, isto é ln(x)>tfrac32 ou x>e^3/2.
    Portanto, f é côncava para cima em (e^3/2,infty).

Resposta

f cresce em (0,e), decresce em (e,infty) e é côncava para cima em (e^3/2,infty).

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