Determine os intervalos nos quais
seja côncavo para cima em todos os pontos. é crescente e nos quais é decrescente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
em três aspectos: onde ela é crescente, onde é decrescente e em que intervalo ela é côncava para cima. O conteúdo envolvido é estudo de função (monotonia e concavidade) usando derivadas de primeira e segunda ordem. Como
está definida somente para
, vamos trabalhar no domínio
.
Passo 2
Para estudar a monotonia, calculamos a derivada primeira de
. Usando a regra do produto em
ou a regra do quociente, obtemos:
Passo 3
O sinal de
indica se
é crescente ou decrescente. Como
para todo
, basta analisar
:
-
se , isto é ou . -
se , isto é ou .
Assim,é crescente em e decrescente em .
Passo 4
Para estudar a concavidade, calculamos a derivada segunda. A partir de
e usando derivação de produto, chegamos a:
Passo 5
O sinal de
define a concavidade. Como
para
, basta ver
:
-
se , isto é ou .
Portanto,é côncava para cima em .
Resposta
f cresce em
, decresce em
e é côncava para cima em
.