Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
x^2 d x+2 y d y=0,
y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de valor inicial:
x^2,dx + 2y,dy = 0,
com condição y(0)=2. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem com variáveis separáveis, e vamos precisar separar as variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos variáveis movendo termos de y para um lado e termos de x para o outro:
2y,dy = -x^2,dx
Agora integramos ambos os lados:
$$
\int 2y,dy = -\int x^{2},dx
integral 2y,dy = -integral x^2,dx áçãí
y^{2} = -\frac{x^{3}}{3} + C
$$

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 e y=2 em y^2 = -tfracx^33 + C obtemos:
2^2 = -0^33 + C implies 4 = C

Passo 4

Substituindo C=4 na solução implícita e isolando y, temos
y^2 = 4 - x^33
Como y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo para a raiz.

Resposta

y(x) = raiz4 - tfracx^33

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