Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os intervalos do domínio onde a função assume apenas valores positivos (ou seja, resolver
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A função não está definida em
(denominador zero). - Deve-se encontrar todos os
tais que .
Passo 2
Estratégia e ideia matemática (explicação didática): para resolver uma desigualdade do tipo
podemos usar duas abordagens equivalentes e simples:
- Fazer uma análise de sinais: identificar os pontos onde numerador ou denominador são zero (esses pontos particionam a reta em intervalos) e estudar o sinal da fração em cada intervalo testando um ponto. A fração é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
- Fazer uma análise por casos: separar em
que tornam o denominador positivo e que tornam o denominador negativo; em cada caso multiplicar a desigualdade pelo denominador cuidando de inverter ou não o sinal.
Vou usar os dois modos (primeiro encontrar os pontos críticos, depois aplicar a análise por casos e confirmar com teste de valores) para você ver as ideias claras.
Passo 3
Encontremos os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam):
- Numerador zero em
. Nesse ponto . - Denominador zero em
. Nesse ponto não está definida (vertical assíntota).
Portanto os pontos que dividem a reta sãoe . Os intervalos a testar são , e .
Passo 4
Análise por casos (multiplicando pela expressão do denominador, com atenção ao sinal):
- Caso
(então ): multiplicando a desigualdade por não se inverte o sinal, obtém-se , ou seja . Juntando com fica simplesmente . Logo todo em satisfaz a desigualdade. - Caso
(então ): multiplicando por (número negativo) inverte-se o sinal, obtém-se , ou seja . Juntando com fica . Logo todo em satisfaz a desigualdade. - Nos pontos
obtemos (não queremos igualdade), e em a função não está definida, portanto ambos são excluídos da solução.
Passo 5
Confirmação com teste de valores (para fixar a intuição):
- Para
: . OK. - Para
: . OK (negativo neste intervalo). - Para
: . OK.