Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
f_{1}(x)=\frac{x-1}{x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função f_{1}(x)=\frac{x-1}{x-2} e pede: determinar os intervalos do domínio onde a função assume apenas valores positivos (ou seja, resolver \frac{x-1}{x-2}>0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f_{1}(x)=\frac{x-1}{x-2}.
  • A função não está definida em x=2 (denominador zero).
  • Deve-se encontrar todos os x tais que f_{1}(x)>0.

Passo 2

Estratégia e ideia matemática (explicação didática): para resolver uma desigualdade do tipo \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}>0 podemos usar duas abordagens equivalentes e simples:
  1. Fazer uma análise de sinais: identificar os pontos onde numerador ou denominador são zero (esses pontos particionam a reta em intervalos) e estudar o sinal da fração em cada intervalo testando um ponto. A fração é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
  2. Fazer uma análise por casos: separar em x que tornam o denominador positivo e x que tornam o denominador negativo; em cada caso multiplicar a desigualdade pelo denominador cuidando de inverter ou não o sinal.
    Vou usar os dois modos (primeiro encontrar os pontos críticos, depois aplicar a análise por casos e confirmar com teste de valores) para você ver as ideias claras.

Passo 3

Encontremos os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam):
  • Numerador zero em x-1=0\Rightarrow x=1. Nesse ponto f_{1}(1)=0.
  • Denominador zero em x-2=0\Rightarrow x=2. Nesse ponto f_{1} não está definida (vertical assíntota).
    Portanto os pontos que dividem a reta são x=1 e x=2. Os intervalos a testar são (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).

Passo 4

Análise por casos (multiplicando pela expressão do denominador, com atenção ao sinal):
  • Caso x>2 (então x-2>0): multiplicando a desigualdade \dfrac{x-1}{x-2}>0 por x-2>0 não se inverte o sinal, obtém-se x-1>0, ou seja x>1. Juntando com x>2 fica simplesmente x>2. Logo todo x em (2,\infty) satisfaz a desigualdade.
  • Caso x<2 (então x-2<0): multiplicando por x-2 (número negativo) inverte-se o sinal, obtém-se x-1<0, ou seja x<1. Juntando com x<2 fica x<1. Logo todo x em (-\infty,1) satisfaz a desigualdade.
  • Nos pontos x=1 obtemos f_{1}(1)=0 (não queremos igualdade), e em x=2 a função não está definida, portanto ambos são excluídos da solução.

Passo 5

Confirmação com teste de valores (para fixar a intuição):
  • Para x=0\in(-\infty,1): \dfrac{0-1}{0-2}=\dfrac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2}>0. OK.
  • Para x=1{,}5\in(1,2): \dfrac{1{,}5-1}{1{,}5-2}=\dfrac{0{,}5}{-0{,}5}=-1<0. OK (negativo neste intervalo).
  • Para x=3\in(2,\infty): \dfrac{3-1}{3-2}=\dfrac{2}{1}=2>0. OK.

Resposta

(-\infty,1)\cup(2,\infty)

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