Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
f_{3}(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{3}(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-1}
e pede: determinar os intervalos em que f_{3}(x) assume apenas valores positivos (ou seja, onde f_{3}(x)>0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da função é \dfrac{x^{2}-x-6}{x-1}.
  • A função é racional; atenção especial para zeros do numerador (onde a função pode ser zero) e zeros do denominador (onde a função não está definida).

Passo 2

Fatorar o numerador para identificar suas raízes (zeros). Procuramos dois números que multiplicados dêem -6 e somados dêem -1. Esses números são -3 e 2. Então:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto podemos escrever
f_{3}(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{x-1}.
Explicação didática rápida: fatorar quadráticos é útil porque transforma a expressão em fatores lineares; cada fator indica um ponto onde o sinal pode mudar (ou onde o valor pode ser zero).

Passo 3

Identificar pontos críticos que particionam a reta real:
  • Zeros do numerador (onde f_{3}(x)=0): \,x=3 (porque x-3=0) e \,x=-2 (porque x+2=0).
  • Zero do denominador (onde a função não está definida): \,x=1.
Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos para testar sinais:
(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,\infty).

Passo 4

Explicar a técnica do diagrama de sinais (método a usar):
  • Cada fator linear (x-a) tem sinal negativo quando x<a e positivo quando x>a.
  • O sinal da expressão racional é o produto dos sinais dos fatores do numerador dividido pelo sinal do fator do denominador.
  • Zeros simples (como aqui) fazem o sinal mudar ao atravessar o ponto; o zero do denominador apenas indica ponto proibido (assíntota vertical), também com mudança de sinal ao atravessá-lo.
  • Para saber onde a função é positiva basta testar um ponto em cada intervalo entre os pontos críticos e verificar o sinal da fração.

Passo 5

Escolher um teste em cada intervalo e calcular o sinal de cada fator (faço as contas explícitas para você poder reproduzir na prova):
Intervalo (-\infty,-2): escolha x=-3.
x-3 = -3-3 = -6 \quad(\text{negativo}),
x+2 = -3+2 = -1 \quad(\text{negativo}),
x-1 = -3-1 = -4 \quad(\text{negativo}).
Numerador: (x-3)(x+2)=(-6)\cdot(-1)=+6 (positivo). Denominador: negativo. Logo
f_{3}(-3)=\frac{+}{-} = \text{negativo}.
Portanto em (-\infty,-2) a função é negativa.
Intervalo (-2,1): escolha x=0.
x-3 = 0-3 = -3 \quad(\text{negativo}),
x+2 = 0+2 = 2 \quad(\text{positivo}),
x-1 = 0-1 = -1 \quad(\text{negativo}).
Numerador: (-3)\cdot 2 = -6 (negativo). Denominador: negativo. Logo
f_{3}(0)=\frac{-}{-} = \text{positivo}.
Portanto em (-2,1) a função é positiva.
Intervalo (1,3): escolha x=2.
x-3 = 2-3 = -1 \quad(\text{negativo}),
x+2 = 2+2 = 4 \quad(\text{positivo}),
x-1 = 2-1 = 1 \quad(\text{positivo}).
Numerador: (-1)\cdot 4 = -4 (negativo). Denominador: positivo. Logo
f_{3}(2)=\frac{-}{+} = \text{negativo}.
Portanto em (1,3) a função é negativa.
Intervalo (3,\infty): escolha x=4.
x-3 = 4-3 = 1 \quad(\text{positivo}),
x+2 = 4+2 = 6 \quad(\text{positivo}),
x-1 = 4-1 = 3 \quad(\text{positivo}).
Numerador: 1\cdot6=6 (positivo). Denominador: positivo. Logo
f_{3}(4)=\frac{+}{+} = \text{positivo}.
Portanto em (3,\infty) a função é positiva.

Passo 6

Observações finais sobre pontos críticos:
  • Em x=-2 e x=3 o numerador é zero, logo f_{3}(x)=0 nesses pontos; como o problema pede onde f_{3}(x)>0, esses pontos não entram (intervalos abertos).
  • Em x=1 a função não está definida (denominador zero); também não entra e separa intervalos.
Juntando os intervalos onde testamos sinal positivo, concluímos que f_{3}(x)>0 em (-2,1) e em (3,\infty).

Resposta

\,(-2,1)\cup(3,\infty)

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