Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os intervalos em que
assume apenas valores positivos (ou seja, onde
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão da função é
. - A função é racional; atenção especial para zeros do numerador (onde a função pode ser zero) e zeros do denominador (onde a função não está definida).
Passo 2
Fatorar o numerador para identificar suas raízes (zeros). Procuramos dois números que multiplicados dêem
e somados dêem
. Esses números são
e
. Então:
Portanto podemos escrever
Explicação didática rápida: fatorar quadráticos é útil porque transforma a expressão em fatores lineares; cada fator indica um ponto onde o sinal pode mudar (ou onde o valor pode ser zero).
Passo 3
Identificar pontos críticos que particionam a reta real:
- Zeros do numerador (onde
): (porque ) e (porque ). - Zero do denominador (onde a função não está definida):
.
Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos para testar sinais:
Passo 4
Explicar a técnica do diagrama de sinais (método a usar):
- Cada fator linear
tem sinal negativo quando e positivo quando . - O sinal da expressão racional é o produto dos sinais dos fatores do numerador dividido pelo sinal do fator do denominador.
- Zeros simples (como aqui) fazem o sinal mudar ao atravessar o ponto; o zero do denominador apenas indica ponto proibido (assíntota vertical), também com mudança de sinal ao atravessá-lo.
- Para saber onde a função é positiva basta testar um ponto em cada intervalo entre os pontos críticos e verificar o sinal da fração.
Passo 5
Escolher um teste em cada intervalo e calcular o sinal de cada fator (faço as contas explícitas para você poder reproduzir na prova):
Intervalo
: escolha
.
Numerador:
(positivo). Denominador: negativo. Logo
Portanto em
a função é negativa.
Intervalo
: escolha
.
Numerador:
(negativo). Denominador: negativo. Logo
Portanto em
a função é positiva.
Intervalo
: escolha
.
Numerador:
(negativo). Denominador: positivo. Logo
Portanto em
a função é negativa.
Intervalo
: escolha
.
Numerador:
(positivo). Denominador: positivo. Logo
Portanto em
a função é positiva.
Passo 6
Observações finais sobre pontos críticos:
- Em
e o numerador é zero, logo nesses pontos; como o problema pede onde , esses pontos não entram (intervalos abertos). - Em
a função não está definida (denominador zero); também não entra e separa intervalos.
Juntando os intervalos onde testamos sinal positivo, concluímos que
em
e em
.