Faça o gráfico do polinômio
detalhando:
(a) as raízes
(b) a intersecçāo com o eixo vertical
(c) as tendências quando
é muito grande positivo e negativo
(d) os intervalos onde
é positivo e onde é negativo
(e) os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente
(f) seus valores de máximo e de mínimo local, se existirem
(a) as raízes
(b) a intersecçāo com o eixo vertical
(c) as tendências quando
(d) os intervalos onde
(e) os intervalos onde
(f) seus valores de máximo e de mínimo local, se existirem
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede, separadamente:
(a) as raízes;
(b) a intersecção com o eixo vertical;
(c) as tendências quando e
;
(d) os intervalos onde é positivo e onde é negativo;
(e) os intervalos onde é crescente e onde é decrescente;
(f) os valores de máximo e de mínimo local, se existirem.
(a) as raízes;
(b) a intersecção com o eixo vertical;
(c) as tendências quando
(d) os intervalos onde
(e) os intervalos onde
(f) os valores de máximo e de mínimo local, se existirem.
Informações úteis que já temos do enunciado:
- A expressão explícita de
está dada acima. - Não há outros dados numéricos além dessa fórmula.
Passo 2
Encontrar as raízes (parte (a)) — fatoração simples e solução.
Explico passo a passo: uma raiz é um tal que
. Como
está em forma de produto, basta zerar cada fator.
Explico passo a passo: uma raiz é um
Logo, ou
ou
. Resolvendo cada uma:
Portanto as raízes são
. Estas são as intersecções com o eixo
.
Passo 3
Intersecção com o eixo vertical (parte (b)) — avaliar
.
Explicando: a intersecção com o eixo vertical ocorre em
. Basta calcular
.
Explicando: a intersecção com o eixo vertical
Portanto a intersecção com o eixo vertical é o ponto
.
Passo 4
Tendência para
(parte (c)) — grau e coeficiente líder.
Explicando a ideia: para saber o comportamento extremo (tendência), olhamos o termo de maior grau. É conveniente expandir:
Explicando a ideia: para saber o comportamento extremo (tendência), olhamos o termo de maior grau. É conveniente expandir:
O termo de maior grau é
com coeficiente
. Para um polinômio de grau par com coeficiente líder positivo, temos
Ou seja: quando
muito grande (positivo ou negativo),
cresce e tende a
.
Passo 5
Sinal de
por intervalos (parte (d)) — análise de sinais dos fatores.
Explico a técnica: como , cada fator muda de sinal nas suas raízes
e
. Assim os intervalos a considerar são:
Explico a técnica: como
Vamos determinar o sinal em cada intervalo testando um ponto ou raciocinando sobre
.
Avaliação dos sinais dos fatores:
- Se
então e também → produto . - Se
então mas → produto . - Se
então e → produto (negativo vezes negativo é positivo).
Resumindo em intervalos:
-
em , em e em . -
em e em .
Nas raízesvale .
Passo 6
Determinar monotonicidade (parte (e)) — derivada, cálculo das críticas.
Explico a regra usada: para saber onde a função cresce ou decresce usamos a derivada . Se
em um intervalo,
é crescente ali; se
, é decrescente.
Explico a regra usada: para saber onde a função cresce ou decresce usamos a derivada
Parto do polinômio expandido
. Aplicando a regra do poder (derivada de
é
):
Fatorando:
As soluções de
(pontos críticos) são:
Resolvendo
:
Anotações numéricas úteis:
. Assim os pontos críticos ordenados são
Passo 7
Determinar sinais de
e, daí, os intervalos de crescimento/decrescimento.
Explico como testar: usamos o fatorado . O sinal vem do produto dos sinais dos fatores.
Explico como testar: usamos o fatorado
Analisando cada intervalo definido pelos pontos críticos:
- Para
(por exemplo ): e → . Então é crescente em . - Para
(por exemplo ): e → . Então é decrescente em . - Para
(por exemplo ): e → produto . Então é crescente em . - Para
(por exemplo ): e → produto . Então é decrescente em .
Resumindo (parte (e)):
-
é decrescente em e em . -
é crescente em e em .
Passo 8
Valores e classificação dos extremos locais (parte (f)) — avaliar
nos pontos críticos e usar teste da primeira/segunda derivada.
Explico: para saber se um ponto crítico é máximo ou mínimo, podemos observar o sinal de ao redor (primeiro teste) ou calcular
(segundo teste).
Explico: para saber se um ponto crítico é máximo ou mínimo, podemos observar o sinal de
Calcule a segunda derivada:
Avaliações:
- Em
: . Como , é côncava para baixo em → é ponto de máximo local. - Em
: use :
Como
nesses pontos, são pontos de mínimo local.
Agora calcular os valores de
nesses pontos (valores exatos e aproximações):
-
(já calculado). - Para
, podemos usar a forma . Colocando :
Colocando tudo sobre quarto:
Em decimal isso é
.
Conclusões sobre extremos (parte (f)):
- Em
há um máximo local com valor . Como nas extremidades, esse máximo local não é máximo absoluto (não existe máximo absoluto finito). - Em
há mínimos locais, com mesmo valor (aprox. ). Pelo formato da derivada e pelo comportamento para , estes mínimos são também os mínimos globais (valores mais baixos que a função atinge), porque a função decresce partindo de até o mínimo, sobe até o máximo local em , decresce novamente ao outro mínimo e sobe para .
Passo 9
Resumo final e instruções para desenhar o gráfico (síntese das informações principais).
- Simetria:
é função par (só tem potências pares), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Raízes:
. - Intersecção com eixo
: . - Comportamento nas pontas:
quando . - Sinais:
em , , ; em e . - Crescimento/decrescimento: decrescente em
e ; crescente em e . - Extremos: máximo local em
com ; mínimos locais (e globais) em com .
Para desenhar o gráfico na prova: marque os pontos
no eixo
, coloque o ponto
, desenhe a curva subindo para
à esquerda, decrescendo até o mínimo em
, subindo até
, descendo até
e subindo de novo para
, lembrando da simetria em
.
Resposta
(a) As raízes são
.
(b) Intersecção com o eixo vertical: , ponto
.
(c) e
.
(d) em
,
e
;
em
e
.
(e) é decrescente em
e em
;
é crescente em
e em
.
(f) Máximo local em com
(não é máximo absoluto); mínimos locais (e globais) em
com
(aprox.
).
(b) Intersecção com o eixo vertical:
(c)
(d)
(e)
(f) Máximo local em