Faça o gráfico do polinômio p(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right) detalhando:
(a) as raízes
(b) a intersecçāo com o eixo vertical
(c) as tendências quando x é muito grande positivo e negativo
(d) os intervalos onde p é positivo e onde é negativo
(e) os intervalos onde p é crescente e onde é decrescente
(f) seus valores de máximo e de mínimo local, se existirem

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)
e pede, separadamente:
(a) as raízes;
(b) a intersecção com o eixo vertical;
(c) as tendências quando x\to+\infty e x\to-\infty;
(d) os intervalos onde p é positivo e onde é negativo;
(e) os intervalos onde p é crescente e onde é decrescente;
(f) os valores de máximo e de mínimo local, se existirem.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A expressão explícita de p(x) está dada acima.
  • Não há outros dados numéricos além dessa fórmula.

Passo 2

Encontrar as raízes (parte (a)) — fatoração simples e solução.
Explico passo a passo: uma raiz é um x tal que p(x)=0. Como p está em forma de produto, basta zerar cada fator.
p(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0
Logo, ou x^{2}-1=0 ou x^{2}-4=0. Resolvendo cada uma:
x^{2}-1=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1,
x^{2}-4=0 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=\pm 2.
Portanto as raízes são \;x=-2,\,-1,\,1,\,2. Estas são as intersecções com o eixo x.

Passo 3

Intersecção com o eixo vertical (parte (b)) — avaliar p(0).
Explicando: a intersecção com o eixo vertical y ocorre em x=0. Basta calcular p(0).
p(0)=\left(0^{2}-1\right)\left(0^{2}-4\right)=(-1)\cdot(-4)=4.
Portanto a intersecção com o eixo vertical é o ponto \,(0,4)\,.

Passo 4

Tendência para x\to\pm\infty (parte (c)) — grau e coeficiente líder.
Explicando a ideia: para saber o comportamento extremo (tendência), olhamos o termo de maior grau. É conveniente expandir:
p(x)=(x^{2}-1)(x^{2}-4)=x^{4}-5x^{2}+4.
O termo de maior grau é x^{4} com coeficiente +1. Para um polinômio de grau par com coeficiente líder positivo, temos
\lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} p(x)=+\infty.
Ou seja: quando x muito grande (positivo ou negativo), p(x) cresce e tende a +\infty.

Passo 5

Sinal de p(x) por intervalos (parte (d)) — análise de sinais dos fatores.
Explico a técnica: como p(x)=(x^{2}-1)(x^{2}-4), cada fator muda de sinal nas suas raízes |x|=1 e |x|=2. Assim os intervalos a considerar são:
(-\infty,-2),\;(-2,-1),\;(-1,1),\;(1,2),\;(2,\infty).
Vamos determinar o sinal em cada intervalo testando um ponto ou raciocinando sobre |x|.
Avaliação dos sinais dos fatores:
  • Se |x|>2 então x^{2}-4>0 e também x^{2}-1>0 → produto +.
  • Se 1<|x|<2 então x^{2}-1>0 mas x^{2}-4<0 → produto -.
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0 e x^{2}-4<0 → produto + (negativo vezes negativo é positivo).
Resumindo em intervalos:
  • p(x)>0 em (-\infty,-2), em (-1,1) e em (2,\infty).
  • p(x)<0 em (-2,-1) e em (1,2).
    Nas raízes x=\pm1,\pm2 vale p(x)=0.

Passo 6

Determinar monotonicidade (parte (e)) — derivada, cálculo das críticas.
Explico a regra usada: para saber onde a função cresce ou decresce usamos a derivada p'(x). Se p'(x)>0 em um intervalo, p é crescente ali; se p'(x)<0, é decrescente.
Parto do polinômio expandido \,p(x)=x^{4}-5x^{2}+4. Aplicando a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}):
p'(x)=4x^{3}-10x.
Fatorando:
p'(x)=2x(2x^{2}-5).
As soluções de p'(x)=0 (pontos críticos) são:
2x(2x^{2}-5)=0 \Rightarrow x=0\quad\text{ou}\quad 2x^{2}-5=0.
Resolvendo 2x^{2}-5=0:
x^{2}=\tfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
Anotações numéricas úteis: \sqrt{\tfrac{5}{2}}=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}5811. Assim os pontos críticos ordenados são
x\approx -1{,}5811,\;0,\;1{,}5811.

Passo 7

Determinar sinais de p'(x) e, daí, os intervalos de crescimento/decrescimento.
Explico como testar: usamos o fatorado p'(x)=2x(2x^{2}-5). O sinal vem do produto dos sinais dos fatores.
Analisando cada intervalo definido pelos pontos críticos:
  • Para x> \sqrt{5/2} (por exemplo x=2): x>0 e 2x^{2}-5>0 p'(x)>0. Então p é crescente em (\sqrt{5/2},\infty).
  • Para 0<x<\sqrt{5/2} (por exemplo x=1): x>0 e 2x^{2}-5<0 p'(x)<0. Então p é decrescente em (0,\sqrt{5/2}).
  • Para -\sqrt{5/2}<x<0 (por exemplo x=-1): x<0 e 2x^{2}-5<0 → produto >\!0. Então p é crescente em (-\sqrt{5/2},0).
  • Para x< -\sqrt{5/2} (por exemplo x=-2): x<0 e 2x^{2}-5>0 → produto <\!0. Então p é decrescente em (-\infty,-\sqrt{5/2}).
Resumindo (parte (e)):
  • p é decrescente em (-\infty,-\sqrt{5/2}) e em (0,\sqrt{5/2}).
  • p é crescente em (-\sqrt{5/2},0) e em (\sqrt{5/2},\infty).

Passo 8

Valores e classificação dos extremos locais (parte (f)) — avaliar p nos pontos críticos e usar teste da primeira/segunda derivada.
Explico: para saber se um ponto crítico é máximo ou mínimo, podemos observar o sinal de p' ao redor (primeiro teste) ou calcular p'' (segundo teste).
Calcule a segunda derivada:
p''(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}-10x)=12x^{2}-10.
Avaliações:
  • Em x=0: p''(0)=12\cdot 0^{2}-10=-10<0. Como p''(0)<0, p é côncava para baixo em 0 x=0 é ponto de máximo local.
  • Em x=\pm\sqrt{5/2}: use x^{2}=\tfrac{5}{2}:
p''\big(\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\big)=12\cdot\tfrac{5}{2}-10=30-10=20>0.
Como p''>0 nesses pontos, são pontos de mínimo local.
Agora calcular os valores de p nesses pontos (valores exatos e aproximações):
  • p(0)=4 (já calculado).
  • Para x^{2}=\tfrac{5}{2}, podemos usar a forma p(x)=x^{4}-5x^{2}+4. Colocando t=x^{2}=\tfrac{5}{2}:
p=\;t^{2}-5t+4=\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}-5\cdot\tfrac{5}{2}+4 = \tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+4.
Colocando tudo sobre quarto:
p=\tfrac{25}{4}-\tfrac{50}{4}+\tfrac{16}{4}=\tfrac{25-50+16}{4}=\tfrac{-9}{4}=-\tfrac{9}{4}.
Em decimal isso é -2{,}25.
Conclusões sobre extremos (parte (f)):
  • Em x=0 há um máximo local com valor p(0)=4. Como p(x)\to+\infty nas extremidades, esse máximo local não é máximo absoluto (não existe máximo absoluto finito).
  • Em x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}} há mínimos locais, com mesmo valor p=\,-\tfrac{9}{4} (aprox. -2{,}25). Pelo formato da derivada e pelo comportamento para x\to\pm\infty, estes mínimos são também os mínimos globais (valores mais baixos que a função atinge), porque a função decresce partindo de +\infty até o mínimo, sobe até o máximo local em 0, decresce novamente ao outro mínimo e sobe para +\infty.

Passo 9

Resumo final e instruções para desenhar o gráfico (síntese das informações principais).
  • Simetria: p(x) é função par (só tem potências pares), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Raízes: x=-2,-1,1,2.
  • Intersecção com eixo y: (0,4).
  • Comportamento nas pontas: p(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
  • Sinais: p>0 em (-\infty,-2), (-1,1), (2,\infty); p<0 em (-2,-1) e (1,2).
  • Crescimento/decrescimento: decrescente em (-\infty,-\sqrt{5/2}) e (0,\sqrt{5/2}); crescente em (-\sqrt{5/2},0) e (\sqrt{5/2},\infty).
  • Extremos: máximo local em x=0 com p(0)=4; mínimos locais (e globais) em x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}} com p=-\tfrac{9}{4}.
Para desenhar o gráfico na prova: marque os pontos x=\pm2,\pm1 no eixo x, coloque o ponto (0,4), desenhe a curva subindo para +\infty à esquerda, decrescendo até o mínimo em (-\sqrt{5/2},-\tfrac{9}{4}), subindo até (0,4), descendo até (\sqrt{5/2},-\tfrac{9}{4}) e subindo de novo para +\infty, lembrando da simetria em y.

Resposta

(a) As raízes são x=-2,\,-1,\,1,\,2.
(b) Intersecção com o eixo vertical: p(0)=4, ponto (0,4).
(c) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=+\infty.
(d) p(x)>0 em (-\infty,-2), (-1,1) e (2,\infty); p(x)<0 em (-2,-1) e (1,2).
(e) p é decrescente em (-\infty,-\sqrt{5/2}) e em (0,\sqrt{5/2}); p é crescente em (-\sqrt{5/2},0) e em (\sqrt{5/2},\infty).
(f) Máximo local em x=0 com p(0)=4 (não é máximo absoluto); mínimos locais (e globais) em x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}} com p=-\tfrac{9}{4} (aprox. -2{,}25).

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