Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é (usando a regra do poder: ) - A derivada de
é - A derivada de
é (constante)
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está aumentando ou diminuindo.
Igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá:
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos e testar cada intervalo para ver se a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e substituir na derivada
:
- Intervalo
: Vamos escolher
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
Como
, a função está crescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
Como
, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com base nos testes que fizemos, podemos resumir os intervalos assim:
- Decrescente em
e - Crescente em
e
Agora, para esboçar o gráfico, observamos que:
- A função tem pontos de inflexão nos pontos críticos.
- Para
indo para ou , o termo dominante faz com que tende para .
Resposta
A função
está decrescente nos intervalos
e
, e crescente nos intervalos
e
. O esboço do gráfico refletirá essas variações de crescimento e decrescimento conforme os intervalos determinados.