Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=2 x^4-4 x^2+1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar os intervalos onde a função f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 está crescendo ou decrescendo e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
A função é:
f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de 2x^4 é 8x^3 (usando a regra do poder: d/dx [x^n] = nx^n-1 )
  • A derivada de -4x^2 é -8x
  • A derivada de 1 é 0 (constante)
Então, a derivada da função é:
f'(x) = 8x^3 - 8x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada f'(x) é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está aumentando ou diminuindo.
Igualamos a derivada a zero:
8x^3 - 8x = 0
Podemos fatorar:
8x(x^2 - 1) = 0
Isso nos dá:
x = 0 ou x^2 - 1 = 0
Resolvendo x^2 - 1 = 0 :
x = 1 ou x = -1
Então, os pontos críticos são x = -1 , x = 0 e x = 1 .

Passo 4

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos e testar cada intervalo para ver se a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Os intervalos são:
  1. (-infty, -1)
  2. (-1, 0)
  3. (0, 1)
  4. (1, +infty)
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e substituir na derivada f'(x) :
  1. Intervalo (-infty, -1) : Vamos escolher x = -2
f'(-2) = 8(-2)^3 - 8(-2) = 8(-8) + 16 = -64 + 16 = -48
Como f'(-2) < 0 , a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo (-1, 0) : Vamos escolher x = -0,5
f'(-0,5) = 8(-0,5)^3 - 8(-0,5) = 8(-0,125) + 4 = -1 + 4 = 3
Como f'(-0,5) > 0 , a função está crescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo (0, 1) : Vamos escolher x = 0,5
f'(0,5) = 8(0,5)^3 - 8(0,5) = 8(0,125) - 4 = 1 - 4 = -3
Como f'(0,5) < 0 , a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo (1, +infty) : Vamos escolher x = 2
f'(2) = 8(2)^3 - 8(2) = 8(8) - 16 = 64 - 16 = 48
Como f'(2) > 0 , a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com base nos testes que fizemos, podemos resumir os intervalos assim:
  • Decrescente em (-infty, -1) e (0, 1)
  • Crescente em (-1, 0) e (1, +infty)
Agora, para esboçar o gráfico, observamos que:
  • A função tem pontos de inflexão nos pontos críticos.
  • Para x indo para +infty ou -infty , o termo dominante 2x^4 faz com que f(x) tende para +infty .

Resposta

A função f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 está decrescente nos intervalos (-infty, -1) e (0, 1) , e crescente nos intervalos (-1, 0) e (1, +infty) . O esboço do gráfico refletirá essas variações de crescimento e decrescimento conforme os intervalos determinados.

Exercícios relacionados