Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta. Então, vamos precisar encontrar a derivada dessa função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele intervalo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando as regras de derivação:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar onde
é maior que zero (crescente) ou menor que zero (decrescente). Para isso, vamos resolver a inequação:
Passo 5
Primeiro, vamos achar as raízes da equação
para determinar os pontos críticos. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 6
Agora que temos as raízes
e
, vamos dividir a reta real em intervalos e testar o sinal de
em cada um deles:
Passo 7
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
- Para
, vamos pegar :
- Para
, vamos pegar :
- Para
, vamos pegar :
Passo 8
Com base nos testes, concluímos que:
- A função
é crescente nos intervalos e . - A função
é decrescente no intervalo .
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. O gráfico apresenta um comportamento de subida, descida e nova subida conforme esses intervalos.