Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=x^3-x^2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função f(x) = x^3 - x^2 - x está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta. Então, vamos precisar encontrar a derivada dessa função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele intervalo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = x^3 - x^2 - x . Usando as regras de derivação:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(x^2) - ddx(x) = 3x^2 - 2x - 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde f'(x) é maior que zero (crescente) ou menor que zero (decrescente). Para isso, vamos resolver a inequação:
3x^2 - 2x - 1 > 0 (crescente)
3x^2 - 2x - 1 < 0 (decrescente)

Passo 5

Primeiro, vamos achar as raízes da equação 3x^2 - 2x - 1 = 0 para determinar os pontos críticos. Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = 2 pm raiz4 + 126 = 2 pm raiz166 = 2 pm 46
Então, temos duas raízes:
x1 = 2 + 46 = 1 e x2 = 2 - 46 = -13

Passo 6

Agora que temos as raízes x = -13 e x = 1 , vamos dividir a reta real em intervalos e testar o sinal de f'(x) em cada um deles:
  1. x < -13
  2. -13 < x < 1
  3. x > 1

Passo 7

Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
  1. Para x < -13 , vamos pegar x = -1 :
f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 (crescendo)
  1. Para -13 < x < 1 , vamos pegar x = 0 :
f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = 0 - 0 - 1 = -1 < 0 (decrescendo)
  1. Para x > 1 , vamos pegar x = 2 :
f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 (crescendo)

Passo 8

Com base nos testes, concluímos que:
  • A função f(x) é crescente nos intervalos (-infty, -13) e (1, infty) .
  • A função f(x) é decrescente no intervalo (-13, 1) .

Resposta

A função f(x) = x^3 - x^2 - x é crescente nos intervalos (-infty, -13) e (1, infty) , e decrescente no intervalo (-13, 1) . O gráfico apresenta um comportamento de subida, descida e nova subida conforme esses intervalos.

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