Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=-2 x^3+6 x^2-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 3 está crescendo ou decrescendo. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, mais especificamente em cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 3
Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(-2x^3) + ddx(6x^2) + ddx(-3)
f'(x) = -6x^2 + 12x

Passo 3

Agora que temos a derivada f'(x) = -6x^2 + 12x , vamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero ou onde não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são importantes para determinar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo f'(x) = 0 :
-6x^2 + 12x = 0
Podemos fatorar:
-6x(x - 2) = 0
Então, as soluções são:
x = 0 ou x = 2

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos x = 0 e x = 2 , vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:
  1. x < 0
  2. 0 < x < 2
  3. x > 2
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal de f'(x) .
  • Intervalo x < 0 :
    Escolha x = -1 :
f'(-1) = -6(-1)^2 + 12(-1) = -6(1) - 12 = -6 - 12 = -18
O sinal é negativo.
  • Intervalo 0 < x < 2 :
    Escolha x = 1 :
f'(1) = -6(1)^2 + 12(1) = -6 + 12 = 6
O sinal é positivo.
  • Intervalo x > 2 :
    Escolha x = 3 :
f'(3) = -6(3)^2 + 12(3) = -6(9) + 36 = -54 + 36 = -18
O sinal é negativo.

Passo 5

Com os sinais da derivada em cada intervalo, podemos concluir o seguinte:
  • Para x < 0 :
    f'(x) < 0 → A função está decrescente.
  • Para 0 < x < 2 :
    f'(x) > 0 → A função está crescente.
  • Para x > 2 :
    f'(x) < 0 → A função está decrescente.

Resposta

A função f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 3 é:
  • Decrescente nos intervalos x < 0 e x > 2 .
  • Crescente no intervalo 0 < x < 2 .

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