Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função
está crescendo ou decrescendo. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, mais especificamente em cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero ou onde não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são importantes para determinar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal de
.
- Intervalo
:
Escolha:
O sinal é negativo.
- Intervalo
:
Escolha:
O sinal é positivo.
- Intervalo
:
Escolha:
O sinal é negativo.
Passo 5
Com os sinais da derivada em cada intervalo, podemos concluir o seguinte:
-
Para
:
→ A função está decrescente. -
Para
:
→ A função está crescente. -
Para
:
→ A função está decrescente.
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
e . - Crescente no intervalo
.