Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=14 x^4-x^3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função f(x) = 14x^4 - x^3 + 2 está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo ali. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
f(x) = 14x^4 - x^3 + 2
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de 14x^4 é 14 times 4x^3 = x^3
  • A derivada de -x^3 é -3x^2
  • A derivada de 2 é 0 (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada de f(x) é:
f'(x) = x^3 - 3x^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São valores de x onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo.
Igualamos a derivada a zero:
x^3 - 3x^2 = 0
Fatorando:
x^2(x - 3) = 0
Então, os pontos críticos são:
x = 0 e x = 3

Passo 4

Vamos dividir a reta numérica nesses pontos críticos para analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
  1. Intervalo (-∞, 0):
    Escolha um número, por exemplo, x = -1 :
f'(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4
Como é negativo, a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo (0, 3):
    Escolha x = 1 :
f'(1) = 1^3 - 3(1)^2 = 1 - 3 = -2
Ainda negativo, então a função continua decrescendo.
  1. Intervalo (3, +∞):
    Escolha x = 4 :
f'(4) = 4^3 - 3(4)^2 = 64 - 48 = 16
Agora é positivo, então a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função f(x) = 14x^4 - x^3 + 2 está decrescendo nos intervalos (-infty, 0) e (0, 3) , e está crescendo no intervalo (3, +infty) . Assim, o gráfico da função desce até x = 3 e depois começa a subir.

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