Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo ali. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo.
Igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Vamos dividir a reta numérica nesses pontos críticos para analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
- Intervalo (-∞, 0):
Escolha um número, por exemplo,:
Como é negativo, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo (0, 3):
Escolha:
Ainda negativo, então a função continua decrescendo.
- Intervalo (3, +∞):
Escolha:
Agora é positivo, então a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está decrescendo nos intervalos
e
, e está crescendo no intervalo
. Assim, o gráfico da função desce até
e depois começa a subir.