Determine a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
D=[lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a inversa da matriz
D = 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4
O conteúdo usado será a fórmula
D^-1 = 1det(D),adj(D),
onde adj(D) é a transposta da matriz de cofatores de D.

Passo 2

Calcular det(D) expandindo pela primeira linha:
det(D) =1cdotdet-5&3-6&4 -(-3)cdotdet3&36&4 +3cdotdet3&-56&-6
Agora cada menor:
det-5&3-6&4=-5cdot4-3cdot(-6)=-20+18=-2,
det3&36&4=3cdot4-3cdot6=12-18=-6,
det3&-56&-6=3cdot(-6)-(-5)cdot6=-18+30=12
Substituindo:
det(D)=1cdot(-2)-(-3)cdot(-6)+3cdot12=-2-18+36=16
Como det(D)=16neq0, D é invertível.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+j,Mij,
e Mij é o menor de D removendo linha i e coluna j. Já calculados alguns menores, seguem todos os cofatores:
C11=-2, C12=+6, C13=12,
C21=-6, C22=-14, C23=-12,
C31=6, C32=6, C33=4
Logo a matriz de cofatores é
C= -2 & 6 & 12 -6 & -14 & -12 6 & 6 & 4

Passo 4

Formar a adjunta (transposta de C):
adj(D)=C^T = -2 & -6 & 6 6 & -14 & 6 12 & -12 & 4

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa:
D^-1=1det(D),adj(D) =116 -2 & -6 & 6 6 & -14 & 6 12 & -12 & 4
Dividindo cada entrada por 16, obtemos a forma simplificada.

Resposta

D^-1 = -tfrac18 & -tfrac38 & tfrac38 [6pt] tfrac38 & -tfrac78 & tfrac38 [6pt] tfrac34 & -tfrac34 & tfrac14 ]

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