Considere
f:[2, \infty) \rightarrow[1, \infty), \quad f(x)=x^{2}-4 x+5
Mostre que f é bijetora e determine f^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:[2,\infty)\to[1,\infty) definida por
f(x)=x^{2}-4x+5.
Pede-se:
  • mostrar que f é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora);
  • determinar a função inversa f^{-1}.

Passo 2

Simplificar a expressão de f completando o quadrado (esta é uma técnica para reescrever quadráticas de forma mais clara).
Começa-se por agrupar x^{2}-4x+5 como
x^{2}-4x+5=(x^{2}-4x+4)+1=(x-2)^{2}+1.
Aqui cada termo significa:
  • (x-2)^{2} é o quadrado da diferença entre x e 2;
  • o +1 desloca verticalmente o polinômio.
    Da forma (x-2)^{2}+1 fica fácil ver o valor mínimo da função: (x-2)^{2}\ge 0 sempre, logo f(x)\ge 1. Em particular f(2)=1. Isso mostra que a imagem de f está contida em [1,\infty) (compatível com o codomínio dado).

Passo 3

Provar injetividade (mostrar que valores distintos de x não podem dar o mesmo valor de f).
Suponha f(a)=f(b) com a,b\in[2,\infty). Usando a forma completada:
(a-2)^{2}+1=(b-2)^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad (a-2)^{2}=(b-2)^{2}.
Isso implica |a-2|=|b-2|. Como a\ge 2 e b\ge 2, tem-se a-2\ge0 e b-2\ge0, logo |a-2|=a-2 e |b-2|=b-2. Portanto a-2=b-2, ou seja a=b. Concluímos que f é injetora.
Observação didática: a condição a,b\ge2 foi usada para eliminar o sinal absoluto; se o domínio fosse todo \mathbb{R} haveria possibilidade de dois x distintos darem o mesmo quadrado, mas no intervalo [2,\infty) isso não acontece.

Passo 4

Provar sobrejetividade (mostrar que todo y\in[1,\infty) tem um x\in[2,\infty) com f(x)=y).
Seja y\in[1,\infty). Queremos resolver y=(x-2)^{2}+1 para x. Isolando:
(x-2)^{2}=y-1\quad\Rightarrow\quad x-2=\pm\sqrt{y-1}.
Mas como buscamos x\ge 2, devemos tomar a raiz não-negativa:
x=2+\sqrt{y-1}.
Note que \sqrt{y-1}\ge 0 e assim x\ge2, logo x pertence ao domínio. Substituindo de volta, verifica-se que esse x satisfaz f(x)=y. Assim todo y\in[1,\infty) tem um antecedente em [2,\infty), ou seja f é sobrejetora.

Passo 5

Determinar explicitamente a inversa e verificar que funciona.
A partir da resolução anterior, para y\in[1,\infty) o antecedente único é
x=2+\sqrt{y-1}.
Portanto a inversa f^{-1}:[1,\infty)\to[2,\infty) é dada por
f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.
Verificação rápida (checagem): para y=f(x)=(x-2)^{2}+1 com x\ge2,
f^{-1}(f(x))=2+\sqrt{(x-2)^{2}}=2+|x-2|=2+(x-2)=x,
pois x-2\ge0. E para y\ge1,
f(f^{-1}(y))=\bigl((2+\sqrt{y-1})-2\bigr)^{2}+1=(\sqrt{y-1})^{2}+1=y-1+1=y.
Isso confirma que as duas são inversas uma da outra.

Passo 6

Conclusão final: f é injetora e sobrejetora, portanto bijetora, e sua inversa foi calculada explicitamente.

Resposta

f é bijetora.
f^{-1}:[1,\infty)\to[2,\infty),\qquad f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.

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