Considere
Mostre que
é bijetora e determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- mostrar que
é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora); - determinar a função inversa
.
Passo 2
Simplificar a expressão de
completando o quadrado (esta é uma técnica para reescrever quadráticas de forma mais clara).
Começa-se por agrupar como
Começa-se por agrupar
Aqui cada termo significa:
-
é o quadrado da diferença entre e ; - o
desloca verticalmente o polinômio.
Da formafica fácil ver o valor mínimo da função: sempre, logo . Em particular . Isso mostra que a imagem de está contida em (compatível com o codomínio dado).
Passo 3
Provar injetividade (mostrar que valores distintos de
não podem dar o mesmo valor de
).
Suponha com
. Usando a forma completada:
Suponha
Isso implica
. Como
e
, tem-se
e
, logo
e
. Portanto
, ou seja
. Concluímos que
é injetora.
Observação didática: a condição
foi usada para eliminar o sinal absoluto; se o domínio fosse todo
haveria possibilidade de dois
distintos darem o mesmo quadrado, mas no intervalo
isso não acontece.
Passo 4
Provar sobrejetividade (mostrar que todo
tem um
com
).
Seja . Queremos resolver
para
. Isolando:
Seja
Mas como buscamos
, devemos tomar a raiz não-negativa:
Note que
e assim
, logo
pertence ao domínio. Substituindo de volta, verifica-se que esse
satisfaz
. Assim todo
tem um antecedente em
, ou seja
é sobrejetora.
Passo 5
Determinar explicitamente a inversa e verificar que funciona.
A partir da resolução anterior, para o antecedente único é
A partir da resolução anterior, para
Portanto a inversa
é dada por
Verificação rápida (checagem): para
com
,
pois
. E para
,
Isso confirma que as duas são inversas uma da outra.
Passo 6
Conclusão final:
é injetora e sobrejetora, portanto bijetora, e sua inversa foi calculada explicitamente.