Determine a inversa das seguintes funções:
a) f(x)=1x
b) f(x)=x+2x+1
c) f(x)=x^4, x>0
d) f(x)=x^2-2 x, x>1
e) f(x)=2+3x+1
f) f(x)=x^2-4 x+3, x>2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de seis casos diferentes. O conteúdo usado será função inversa: vamos definir uma variável auxiliar y, trocar x e y e resolver para y, usando manipulações algébricas e, quando necessário, completamento de quadrado.

Passo 2

Para (a) começamos com y=1x. Trocando as variáveis: x=1y. Agora isolamos y:
y=1x

Passo 3

Para (b) temos y=x+2x+1. Trocando:
x=y+2y+1 Multiplicando ambos os lados por y+1:
x(y+1)=y+2
xy + x = y + 2 Isola-se y:
xy - y = 2 - x
y(x - 1) = 2 - x
y=2 - xx - 1

Passo 4

No caso © y = x^4, para x>0. Trocando: x = y^4 não faz sentido, o certo é
x=y^4 mas na prática fazemos y=x^4 trocar e resolver:
x=y^4
y=x^1/4, x>0

Passo 5

Para (d) y = x^2 - 2x com x>1. Completa-se o quadrado:
y = (x - 1)^2 - 1 Trocando x e y:
x = (y - 1)^2 - 1 corrigindo a troca ficaria
x+1=(y-1)^2
y-1=raizx+1(x>1)
y=1+raizx+1

Passo 6

Em (e) y=2+3x+1. Isola-se:
y-2=3x+1
x+1=3y-2
y=2+3x+1 trocando e resolvendo dá
y=3x-2-1

Passo 7

Para (f) y=x^2-4x+3, x>2. Completa-se o quadrado:
y=(x-2)^2-1 Trocando x e y e isolando:
(x-2)^2=y+1
x-2=raizy+1
y=2+raizx+1

Resposta

a) f^-1(x)=tfrac1x
b) f^-1(x)=tfrac2-xx-1
c) f^-1(x)=x^1/4,;x>0
d) f^-1(x)=1+raizx+1,;x>1
e) f^-1(x)=tfrac3x-2-1
f) f^-1(x)=2+raizx+1,;x>2

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