Determine as condições que
e
devem satisfazer para que a solução do PVI
satisfaça a condição
.
Passo 1
O enunciado nos dá um PVI de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede para achar quais valores de α e β fazem com que a solução tenda a zero quando t→+∞.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo, obtemos as raízes r₁ = 2 e r₂ = -1, então a solução geral da EDO é
Passo 4
Derivando para usar a condição y′(0)=β, temos
Passo 5
Impondo as condições iniciais em t=0:
Passo 6
Resolvendo esse sistema, achamos
Passo 7
Para que limₜ→+∞ y(t)=0, o coeficiente de e^{2t} deve ser zero (pois e^{2t} explode). Logo
Resposta
A condição necessária e suficiente é β = −α.