Determine as condições que alpha e beta devem satisfazer para que a solução do PVI
l y^prime prime-y^prime-2 y=0 y(0)=alpha, y^prime(0)=beta
satisfaça a condição lim t +infty y(t)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um PVI de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede para achar quais valores de α e β fazem com que a solução tenda a zero quando t→+∞.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo, obtemos as raízes r₁ = 2 e r₂ = -1, então a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t

Passo 4

Derivando para usar a condição y′(0)=β, temos
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0:
C1 + C2 = alpha, 2C1 - C2 = beta

Passo 6

Resolvendo esse sistema, achamos
C1 = alpha + beta3, C2 = 2alpha - beta3

Passo 7

Para que limₜ→+∞ y(t)=0, o coeficiente de e^{2t} deve ser zero (pois e^{2t} explode). Logo
C1 = 0 implies alpha + beta = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente é β = −α.

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