Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Vamos começar pela equação homogênea associada. Ela é
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Agora vamos achar uma particular para o termo
. Como
não é solução da homogênea, usamos o palpite
Derivando e substituindo em
então
deve ser igual a
Portanto
Passo 4
Agora a parte
. Note que
corresponde à raiz
da homogênea (multiplicidade 1) e temos um polinômio de grau 1 (
). O palpite é
Definindo
Substituindo em
surge
Como
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da homogênea com as particulares:
Resposta
y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}-e{2x}+\Bigl(\tfrac{3}{8}x2+\tfrac{3}{16}x\Bigr)e^{-x}