Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 x-3 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'-3y=3e^2x-3x e^-x,
usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Vamos começar pela equação homogênea associada. Ela é
y''-2y'-3y=0
A equação característica é
r^2-2r-3=0,
cuja solução é
r=3ou r=-1
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh=C1e^3x+C2e^-x

Passo 3

Agora vamos achar uma particular para o termo 3e^2x. Como e^2x não é solução da homogênea, usamos o palpite
yp1=Ae^2x
Derivando e substituindo em y''-2y'-3y=3e^2x, temos
y'p1=2Ae^2x, y''p1=4Ae^2x,
então
4Ae^2x-2(2Ae^2x)-3(Ae^2x)=(-3A)e^2x
deve ser igual a 3e^2x. Assim
-3A=3implies A=-1
Portanto
yp1=-e^2x

Passo 4

Agora a parte -3x e^-x. Note que e^-x corresponde à raiz r=-1 da homogênea (multiplicidade 1) e temos um polinômio de grau 1 ( x). O palpite é
yp2=x,igl(Ax+Br)e^-x=(Ax^2+Bx)e^-x
Definindo u(x)=Ax^2+Bx, calcula-se
yp2=(u)e^-x, y'p2=(u'-u)e^-x, y''p2=(u''-2u'+u)e^-x
Substituindo em y''-2y'-3y=-3x e^-x surge
u''-4u'=-3x
Como u'=2Ax+B e u''=2A, obtemos
2A-4(2Ax+B)=-8Ax+(2A-4B)=-3x+0
Igualando coeficientes:
-8A=-3implies A=tfrac38,
2A-4B=0implies B=tfrac316
Logo
yp2=l(tfrac38x^2+tfrac316xr)e^-x

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da homogênea com as particulares:
y(x)=C1e^3x+C2e^-x-e^2x+l(tfrac38x^2+tfrac316xr)e^-x

Resposta

y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}-e{2x}+\Bigl(\tfrac{3}{8}x2+\tfrac{3}{16}x\Bigr)e^{-x}

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