As oscilações livres em um sistema massa-mola com amortecimento supercrítico são governadas pela equação diferencial y^prime prime+5 y^prime+6 y=0. A massa inicia seu movimento a partir da posição inicial y(0)=2, com velocidade inicial y^prime(0)=v0. Qual a condição que v0 deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre a velocidade inicial v0 para que a trajetória da massa, dada pela solução de y'' + 5y' + 6y = 0 com y(0)=2 e y'(0)=v0, cruze exatamente uma vez a posição de equilíbrio y=0. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e amortecimento supercrítico; vamos usar a resolução via equação característica.

Passo 2

A equação característica de y'' + 5y' + 6y = 0 é r^2 + 5r + 6 = 0, cujas raízes são r1=-2 e r2=-3. Logo, a solução geral é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t,

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:
y(0)=C1 + C2 = 2,
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t,
y'(0) = -2C1 - 3C2 = v0

Passo 4

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, -2C1 - 3C2 = v0,
obtemos
C1 = v0 + 6, C2 = -(v0 + 4)

Passo 5

Para que haja exatamente uma passagem por y=0 em t>0, precisamos que a equação
C1 e^-2t + C2 e^-3t = 0
tenha uma única solução positiva. Note que isso ocorre se e somente se C1 e C2 tiverem sinais opostos e ainda garantirem t>0. Substituindo, a condição se reduz a
(v0 + 6)(v0 + 4) > 0 e e^t = -C2C1 > 1

Passo 6

Ao analisar os sinais percebe-se que a única forma de ambas as condições serem satisfeitas para t>0 é
v0 < -6

Resposta

v0 < -6

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