As oscilações livres em um sistema massa-mola com amortecimento supercrítico são governadas pela equação diferencial
. A massa inicia seu movimento a partir da posição inicial
, com velocidade inicial
. Qual a condição que
deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio?
Passo 1
O enunciado pede a condição sobre a velocidade inicial
para que a trajetória da massa, dada pela solução de
com
e
, cruze exatamente uma vez a posição de equilíbrio
. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e amortecimento supercrítico; vamos usar a resolução via equação característica.
Passo 2
A equação característica de
é
, cujas raízes são
e
. Logo, a solução geral é
Passo 3
Aplicando as condições iniciais:
Passo 4
Resolvendo o sistema
obtemos
Passo 5
Para que haja exatamente uma passagem por
em
, precisamos que a equação
tenha uma única solução positiva. Note que isso ocorre se e somente se
Passo 6
Ao analisar os sinais percebe-se que a única forma de ambas as condições serem satisfeitas para
é