Dado o número complexo
:
Encontre a forma polar de
.
Encontre a forma polar de
Passo 1
O enunciado pede a forma polar de z = 1 − i. O conteúdo envolve números complexos e a conversão para a forma polar, para a qual precisamos calcular o módulo |z| e o argumento θ de z.
Passo 2
Vamos calcular o módulo de z usando a definição
, onde x = 1 e y = –1.
[
|z| = \sqrt{1^2 + (−1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
]
|z| = \sqrt{1^2 + (−1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
]
Passo 3
Agora determinamos o argumento θ = arg(z) usando
. Como x = 1 > 0 e y = −1 < 0, estamos no quarto quadrante, logo:
[
θ = \arctan\bigl(−1\bigr) = −\tfrac{\pi}{4}
]
θ = \arctan\bigl(−1\bigr) = −\tfrac{\pi}{4}
]
Passo 4
Com o módulo e o argumento em mãos, escrevemos a forma polar:
[
z = |z|\bigl(\cos θ + i\sin θ\bigr) = \sqrt{2}\bigl(\cos(−\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(−\tfrac{\pi}{4})\bigr)
]Também podemos usar a forma exponencial de Euler:
z = |z|\bigl(\cos θ + i\sin θ\bigr) = \sqrt{2}\bigl(\cos(−\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(−\tfrac{\pi}{4})\bigr)
]Também podemos usar a forma exponencial de Euler:
[
z = \sqrt{2},e^{−i\pi/4}
]
z = \sqrt{2},e^{−i\pi/4}
]