Determine a inversa das seguintes funções bijetoras:
a) f: R R, definida por f(x)=2 x-5
b) f: R-4 R-1, definida por f(x)=x+1x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções inversas de duas funções que são bijetoras. Isso significa que cada uma delas tem uma inversa única. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, como resolver equações para encontrar a função inversa. Vamos lá!

Passo 2

a) Encontrando a inversa de $ f(x) = 2x - 5 $
Primeiro, lembrando o que é uma função inversa: se $ f $ é uma função, sua inversa $ f^{-1} $ “desfaz” o que $ f $ faz. Matemática, se $ y = f(x) $, então $ x = f^{-1}(y) $.
Vamos encontrar $ f^{-1}(x) $:
  1. Começamos substituindo $ f(x) $ por $ y $:
    f(x) = 2x - 5
  2. Agora, queremos isolar $ x $. Primeiro, adicione 5 aos dois lados:
    f
  3. Em seguida, divida ambos os lados por 2 para resolver para $ x $:
    f^-1
  4. Finalmente, substituímos $ y $ por $ x $ para expressar a inversa em termos de $ x $:
    f

Passo 3

b) Encontrando a inversa de $ f(x) = \frac{x + 1}{x - 4} $
Vamos seguir os mesmos passos para encontrar a inversa.
  1. Substituímos $ f(x) $ por $ y $:
    f(x) = x + 1x - 4
  2. Queremos isolar $ x $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ x - 4 $ para eliminar a fração:
    f(x)
  3. Distribuímos o $ y $:
    y
  4. Agora, trazemos todos os termos com $ x $ para um lado e os demais para o outro:
    y = x + 1x - 4
  5. Fatoramos $ x $ no lado esquerdo:
    x
  6. Finalmente, resolvemos para $ x $ dividindo ambos os lados por $ y - 1 $:
    x - 4
  7. Substituímos $ y $ por $ x $ para expressar a inversa:
    y(x - 4) = x + 1

Resposta

As funções inversas são:
a) $ f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2} $
b) $ f^{-1}(x) = \frac{4x + 1}{x - 1} $

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