Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo em m^2 :
Região compreendida entre os gráficos das funções y=x^2-3 x e y=3 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar os gráficos de y = x^2 − 3x e y = 3x − x^2 e calcular a área da região limitada entre eles. O conteúdo aqui é ‘área entre curvas’, para isso vamos precisar achar os pontos de interseção, identificar qual função fica acima da outra e usar integral definida.

Passo 2

Para encontrar as interseções, igualamos as duas funções:
x^2 - 3x = 3x - x^2
isso leva a
2x^2 - 6x = 0 implies 2x(x - 3) = 0
logo x = 0 ou x = 3. Substituindo em qualquer função, y = 0 nesses pontos. Então as curvas se cruzam em (0,0) e (3,0).

Passo 3

Fazendo um esboço rápido: y = x^2 − 3x é uma parábola côncava para cima com zeros em 0 e 3; y = 3x − x^2 é côncava para baixo com os mesmos zeros. No intervalo [0,3], 3x − x^2 fica acima de x^2 − 3x.

Passo 4

A área entre as curvas é dada por
integral0^3 l(ysup - yinfr),dx = integral0^3 l[(3x - x^2) - (x^2 - 3x)r] dx
No integrando simplificamos:
(3x - x^2) - (x^2 - 3x) = 6x - 2x^2
Então calculamos a integral:
integral0^3 (6x - 2x^2) dx = [3x^2 - tfrac23x^3]0^3 = (27 - 18) - 0 = 9

Resposta

9 m^2

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