Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo em
:
Região compreendida entre os gráficos das funções
e
Região compreendida entre os gráficos das funções
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar os gráficos de y = x^2 − 3x e y = 3x − x^2 e calcular a área da região limitada entre eles. O conteúdo aqui é ‘área entre curvas’, para isso vamos precisar achar os pontos de interseção, identificar qual função fica acima da outra e usar integral definida.
Passo 2
Para encontrar as interseções, igualamos as duas funções:
isso leva a
logo x = 0 ou x = 3. Substituindo em qualquer função, y = 0 nesses pontos. Então as curvas se cruzam em (0,0) e (3,0).
Passo 3
Fazendo um esboço rápido: y = x^2 − 3x é uma parábola côncava para cima com zeros em 0 e 3; y = 3x − x^2 é côncava para baixo com os mesmos zeros. No intervalo [0,3], 3x − x^2 fica acima de x^2 − 3x.
Passo 4
A área entre as curvas é dada por
No integrando simplificamos:
Então calculamos a integral:
Resposta
9 m^2