Determine a inversa das seguintes funções, indicando o domínio e imagem das funções inversas encontradas
(c) f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+2}, para x>1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+2},
com domínio restrito a x>1. A tarefa é:
  • encontrar a função inversa f^{-1};
  • indicar o domínio de f^{-1};
  • indicar a imagem (contradomínio efetivo) de f^{-1}.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão dentro da raiz, completando o quadrado para entender melhor a forma da função. Temos
x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
Portanto a função pode ser escrita como
f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+1}.
Explicação rápida do método: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático x^{2}-2x+2 em (x-1)^{2}+1 porque x^{2}-2x+1=(x-1)^{2} e sobra o +1.

Passo 3

Para existir inversa precisamos que f seja injetora (monótona no domínio). Vamos mostrar que f é estritamente crescente em x>1 calculando a derivada.
Seja u(x)=(x-1)^{2}+1. A derivada de f(x)=\sqrt{u(x)} é, pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u'(x)=2(x-1), logo
f'(x)=\frac{2(x-1)}{2\sqrt{(x-1)^{2}+1}}=\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+1}}.
Para x>1 temos x-1>0 e o denominador é positivo, então f'(x)>0. Assim f é estritamente crescente em x>1 e, portanto, injetora — tem inversa no intervalo dado.
Pequeno comentário motivador: calcular a derivada é uma forma direta de garantir que a função não “volta atrás” e cada valor da imagem vem de no máximo um x.

Passo 4

Determinar a imagem de f. Usando a forma f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+1}:
  • Como x>1 implica (x-1)^{2}>0, segue que (x-1)^{2}+1>1 e portanto f(x)>1 para todo x>1.
  • Quando x\to1^{+} temos (x-1)^{2}\to0 e f(x)\to1^{+}.
  • Quando x\to\infty temos (x-1)^{2}\to\infty e f(x)\to\infty.
Portanto a imagem de f é o intervalo aberto (1,\infty).

Passo 5

Agora resolver a equação y=f(x) para x em função de y. Escrevendo y=\sqrt{(x-1)^{2}+1} e lembrando que a imagem de f é y\in(1,\infty), procedemos:
Elevar ambos os lados ao quadrado:
y^{2}=(x-1)^{2}+1.
Isolando (x-1)^{2}:
(x-1)^{2}=y^{2}-1.
Tomando raiz quadrada dos dois lados, obtemos duas possibilidades formais x-1=\pm\sqrt{y^{2}-1}. Mas como no domínio original temos x>1, segue x-1>0, então devemos escolher o sinal positivo:
x-1=\sqrt{y^{2}-1}.
Assim
x=1+\sqrt{y^{2}-1}.

Passo 6

Concluímos que a inversa, escrita como função de uma variável de entrada usualmente chamada x, é
f^{-1}(x)=1+\sqrt{x^{2}-1}.
Devemos agora especificar domínio e imagem de f^{-1}.
  • O domínio de f^{-1} é a imagem de f, que já determinamos ser (1,\infty).
  • A imagem (conjunto de valores produzidos) de f^{-1} é o domínio de f, que é (1,\infty).
Verificação rápida: para qualquer x>1 tem-se f^{-1}(x)=1+\sqrt{x^{2}-1}>1, então a imagem de f^{-1} fica mesmo em (1,\infty), como esperado.

Resposta

f^{-1}(x)=1+\sqrt{x^{2}-1}, domínio: (1,\infty), imagem: (1,\infty)

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