Determine a inversa das seguintes funções, indicando o domínio e imagem das funções inversas encontradas
(c)
, para
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com domínio restrito a
. A tarefa é:
- encontrar a função inversa
; - indicar o domínio de
; - indicar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão dentro da raiz, completando o quadrado para entender melhor a forma da função. Temos
Portanto a função pode ser escrita como
Explicação rápida do método: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático
em
porque
e sobra o
.
Passo 3
Para existir inversa precisamos que
seja injetora (monótona no domínio). Vamos mostrar que
é estritamente crescente em
calculando a derivada.
Seja
. A derivada de
é, pela regra da cadeia,
Aqui
, logo
Para
temos
e o denominador é positivo, então
. Assim
é estritamente crescente em
e, portanto, injetora — tem inversa no intervalo dado.
Pequeno comentário motivador: calcular a derivada é uma forma direta de garantir que a função não “volta atrás” e cada valor da imagem vem de no máximo um
.
Passo 4
Determinar a imagem de
. Usando a forma
:
- Como
implica , segue que e portanto para todo . - Quando
temos e . - Quando
temos e .
Portanto a imagem de
é o intervalo aberto
.
Passo 5
Agora resolver a equação
para
em função de
. Escrevendo
e lembrando que a imagem de
é
, procedemos:
Elevar ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada dos dois lados, obtemos duas possibilidades formais
. Mas como no domínio original temos
, segue
, então devemos escolher o sinal positivo:
Assim
Passo 6
Concluímos que a inversa, escrita como função de uma variável de entrada usualmente chamada
, é
Devemos agora especificar domínio e imagem de
.
- O domínio de
é a imagem de , que já determinamos ser . - A imagem (conjunto de valores produzidos) de
é o domínio de , que é .
Verificação rápida: para qualquer
tem-se
, então a imagem de
fica mesmo em
, como esperado.