Um tanque com 100 litros de água está esvaziando devido a um vazamento no fundo, causando o esvaziamento completo em 40 minutos. A lei de Toricelli diz que o volume de água que está no tanque depois de t minutos é
V(t)=100\left(1-\frac{t}{40}\right)^{2} .
Encontre a função inversa V^{-1} e diga o que ela representa. Determine V^{-1}(25).
Passo 1
O enunciado dá a função que relaciona o tempo de esvaziamento com o volume restante:
V(t)=100\left(1-\frac{t}{40}\right)^{2},
onde t está em minutos e V(t) está em litros. O problema pede duas coisas:
Encontrar a função inversa V^{-1} (ou seja, escrever o tempo t como função do volume V).
Dizer o que essa inversa representa no contexto do tanque.
Calcular V^{-1}(25).
Passo 2
Antes de começar a manipular álgebra, lembrar o que significa uma função inversa de forma prática: se V dá o volume em litros quando o tempo é t, então V^{-1} deve dar o tempo t (em minutos) quando informado um volume V (em litros). Para existir inversa bem definida precisamos que a função original seja um-para-um no intervalo considerado. Aqui o tanque esvazia de t=0 até t=40, e V(t) decresce monotonicamente de 100 para 0, então nela podemos definir uma inversa no intervalo de interesse.
Passo 3
Vamos achar explicitamente V^{-1} resolvendo a equação \,V=100\left(1-\dfrac{t}{40}\right)^{2}\, para t em termos de V.
Primeiro isolamos o quadrado dividindo por 100:
\frac{V}{100}=\left(1-\frac{t}{40}\right)^{2}.
Passo 4
Agora aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados. Ao fazer isso, aparece um valor absoluto:
\sqrt{\frac{V}{100}}=\left|1-\frac{t}{40}\right|.
Explicando: \sqrt{\cdot} devolve sempre o valor não negativo, então \sqrt{\dfrac{V}{100}}= \left|1-\dfrac{t}{40}\right|.
Passo 5
Precisamos escolher o sinal (±) correto para remover o valor absoluto. Observe que no intervalo físico do problema t\in[0,40] temos 1-\dfrac{t}{40}\ge 0 (porque quando t=0 é 1 e quando t=40 é 0), então o lado dentro do valor absoluto é não-negativo. Portanto podemos retirar o valor absoluto usando o sinal positivo:
\sqrt{\frac{V}{100}}=1-\frac{t}{40}.
Passo 6
Agora resolvemos para t. Primeiro simplificamos a raiz:
\sqrt{\frac{V}{100}}=\frac{\sqrt{V}}{10},
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\frac{\sqrt{V}}{10}=1-\frac{t}{40}.
Isolando \dfrac{t}{40}:
\frac{t}{40}=1-\frac{\sqrt{V}}{10}.
Multiplicando por 40:
t=40\left(1-\frac{\sqrt{V}}{10}\right).
Distribuindo 40:
t=40-4\sqrt{V}.
Passo 7
Portanto a função inversa é
V^{-1}(V)=40-4\sqrt{V}.
Aqui é importante explicitar domínio e imagem: o domínio natural de V^{-1} é o conjunto de volumes possíveis, que é [0,100] litros (porque V(t) varia de 100 a 0 para t\in[0,40]). Para V\in[0,100] a expressão 40-4\sqrt{V} dá um t em [0,40], em minutos.
Passo 8
Interpretação física: V^{-1}(V_0) dá o tempo (em minutos) que deve decorrer para que o tanque contenha V_0 litros. Em outras palavras, se alguém disser “restam V_0 litros”, a inversa responde “isso acontece após V^{-1}(V_0) minutos desde o início do esvaziamento”.
Passo 9
Calculemos V^{-1}(25). Substituindo V=25 na fórmula encontrada:
V^{-1}(25)=40-4\sqrt{25}=40-4\cdot5=40-20=20.
Isso significa que, depois de 20 minutos, restarão 25 litros no tanque.
Resposta
V^{-1}(V)=40-4\sqrt{V},\quad\text{domínio: }V\in[0,100]í — representa o tempo (em minutos) em que o tanque contém V litros. V^{-1}(25)=20 minutos.