Em certo pais, o imposto sobre ingressos iguais ou menores a 20,000 é
. Para ingressos maiores a 20,000 , o imposto é 2,000 mais
da quantidade superior à 20,000 . (a) Encontre a função
que expressa o imposto em relação ao ingresso
. (b) Encontre
. O que representa
? (c) Quanto ingresso requereria pagar um imposto de 10,000 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informações dadas:
- Para ingressos iguais ou menores que
, o imposto é do ingresso. - Para ingressos maiores que
, o imposto é mais da parte que excede .
- Para ingressos iguais ou menores que
- Perguntas do enunciado:
- (a) Encontrar a função
que, dado o ingresso , dá o imposto cobrado. - (b) Encontrar
(a inversa de ) e explicar o que ela representa. - (c) Determinar qual ingresso faz com que o imposto seja
.
- (a) Encontrar a função
Passo 2
Construção da função [f) (parte (a)). Vamos traduzir as regras em uma função por partes.
- Para
menor ou igual a : imposto é de . Isso significa
Explicando:
é
na forma decimal; multiplicar
por
dá o imposto.
- Para
maior que : imposto é mais da quantidade superior a . A parte superior é , então
Desenvolvendo essa expressão (para clareza de cálculo):
Portanto podemos escrever
de forma mais compacta como a função por partes
Observação útil: em
e
. Assim
é contínua em
.]
Passo 3
Explicação do que é a inversa e se podemos encontrá-la. Para uma função ter inversa (sobre o intervalo considerado) ela precisa associar cada valor de saída a exatamente um
— em termos simples, a função deve ser injetora (aqui basta que seja estritamente crescente no domínio). As duas expressões de
são lineares com coeficientes positivos (
e
), então
é estritamente crescente no domínio natural dos ingressos (geralmente
). Logo existe inversa definida por partes sobre a imagem (valores de imposto).
Para inverter, procedemos peça por peça: dado
(valor do imposto), achamos
tal que
.
Passo 4
Cálculo de
(continuação da parte (b)): inverter as duas fórmulas.
- Caso imposto
corresponda à primeira parte (ingressos ). A primeira parte diz
Resolver para
:
Essa fórmula vale enquanto o
encontrado for
. Como
implica
, concluímos que a primeira parte da inversa vale para
.
- Caso imposto
corresponda à segunda parte (ingressos ). A segunda parte diz
Resolver para
:
Essa fórmula vale para os
que correspondem a
. Como
implica
, a condição consistente é
.
Portanto a inversa é
Passo 5
Interpretação de
(parte (b) explicada de forma simples):
pega um valor de imposto
e devolve qual deve ser o preço do ingresso
para que o imposto cobrado seja exatamente
. Em outras palavras, se alguém souber quanto pagou de imposto e quiser saber qual era o preço do ingresso, aplica
.
Passo 6
Resolver a parte (c): quanto ingresso requeria pagar um imposto de
.
Temos
. Note que
, então usamos a fórmula da inversa válida para
:
Verificação rápida aplicando
a
(para checar): como
usamos
,
que confere.
Resposta
(a)
(b)
(c)