Em certo pais, o imposto sobre ingressos iguais ou menores a 20,000 é 10 \%. Para ingressos maiores a 20,000 , o imposto é 2,000 mais 20 \% da quantidade superior à 20,000 . (a) Encontre a função f que expressa o imposto em relação ao ingresso x. (b) Encontre f^{-1}. O que representa f^{-1} ? (c) Quanto ingresso requereria pagar um imposto de 10,000 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informações dadas:
    • Para ingressos iguais ou menores que 20{,}000, o imposto é 10\% do ingresso.
    • Para ingressos maiores que 20{,}000, o imposto é 2{,}000 mais 20\% da parte que excede 20{,}000.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Encontrar a função f que, dado o ingresso x, dá o imposto cobrado.
    • (b) Encontrar f^{-1} (a inversa de f) e explicar o que ela representa.
    • (c) Determinar qual ingresso faz com que o imposto seja 10{,}000.

Passo 2

Construção da função [f) (parte (a)). Vamos traduzir as regras em uma função por partes.
  • Para x menor ou igual a 20{,}000: imposto é 10\% de x. Isso significa
f(x)=0{,}10\;x\quad\text{se }\;x\le 20{,}000.
Explicando: 10\% é 0{,}10 na forma decimal; multiplicar x por 0{,}10 dá o imposto.
  • Para x maior que 20{,}000: imposto é 2{,}000 mais 20\% da quantidade superior a 20{,}000. A parte superior é x-20{,}000, então
f(x)=2{,}000+0{,}20\,(x-20{,}000)\quad\text{se }\;x>20{,}000.
Desenvolvendo essa expressão (para clareza de cálculo):
f(x)=2{,}000+0{,}20x-0{,}20\cdot20{,}000=2{,}000+0{,}20x-4{,}000=0{,}20x-2{,}000.
Portanto podemos escrever f de forma mais compacta como a função por partes
f(x)= \begin{cases} 0{,}10\,x, & x\le 20{,}000,\\[6pt] 0{,}20\,x-2{,}000, & x>20{,}000. \end{cases}
Observação útil: em x=20{,}000\] ambas as fórmulas dão o mesmo valor: \(0{,}10\cdot20{,}000=2{,}000 e 0{,}20\cdot20{,}000-2{,}000=4{,}000-2{,}000=2{,}000. Assim f é contínua em x=20{,}000.]

Passo 3

Explicação do que é a inversa e se podemos encontrá-la. Para uma função ter inversa (sobre o intervalo considerado) ela precisa associar cada valor de saída a exatamente um x — em termos simples, a função deve ser injetora (aqui basta que seja estritamente crescente no domínio). As duas expressões de f são lineares com coeficientes positivos ( 0{,}10 e 0{,}20), então f é estritamente crescente no domínio natural dos ingressos (geralmente x\ge 0). Logo existe inversa definida por partes sobre a imagem (valores de imposto).
Para inverter, procedemos peça por peça: dado t (valor do imposto), achamos x tal que f(x)=t.

Passo 4

Cálculo de f^{-1} (continuação da parte (b)): inverter as duas fórmulas.
  • Caso imposto t corresponda à primeira parte (ingressos \le 20{,}000). A primeira parte diz
t=0{,}10\,x.
Resolver para x:
x=\frac{t}{0{,}10}=10\,t.
Essa fórmula vale enquanto o x encontrado for \le 20{,}000. Como x=10t\le 20{,}000 implica t\le 2{,}000, concluímos que a primeira parte da inversa vale para t\le 2{,}000.
  • Caso imposto t corresponda à segunda parte (ingressos >20{,}000). A segunda parte diz
t=0{,}20\,x-2{,}000.
Resolver para x:
0{,}20\,x=t+2{,}000\quad\Rightarrow\quad x=\frac{t+2{,}000}{0{,}20}=5\,(t+2{,}000)=5t+10{,}000.
Essa fórmula vale para os t que correspondem a x>20{,}000. Como x=5t+10{,}000>20{,}000 implica 5t+10{,}000>20{,}000\Rightarrow 5t>10{,}000\Rightarrow t>2{,}000, a condição consistente é t>2{,}000.
Portanto a inversa é
f^{-1}(t)= \begin{cases} 10\,t, & t\le 2{,}000,\\[6pt] 5\,t+10{,}000, & t>2{,}000. \end{cases}]

Passo 5

Interpretação de f^{-1} (parte (b) explicada de forma simples): f^{-1} pega um valor de imposto t e devolve qual deve ser o preço do ingresso x para que o imposto cobrado seja exatamente t. Em outras palavras, se alguém souber quanto pagou de imposto e quiser saber qual era o preço do ingresso, aplica f^{-1}.

Passo 6

Resolver a parte (c): quanto ingresso requeria pagar um imposto de 10{,}000.
Temos t=10{,}000. Note que 10{,}000>2{,}000, então usamos a fórmula da inversa válida para t>2{,}000:
x=f^{-1}(10{,}000)=5\cdot 10{,}000 + 10{,}000 = 50{,}000 + 10{,}000 = 60{,}000.
Verificação rápida aplicando f a x=60{,}000 (para checar): como 60{,}000>20{,}000 usamos f(x)=2{,}000+0{,}20(x-20{,}000),
f(60{,}000)=2{,}000+0{,}20\cdot(40{,}000)=2{,}000+8{,}000=10{,}000,
que confere.

Resposta

(a) f(x)= \begin{cases} 0{,}10\,x, & x\le 20{,}000,\\[6pt] 0{,}20\,x-2{,}000, & x>20{,}000. \end{cases}
(b) f^{-1}(t)= \begin{cases} 10\,t, & t\le 2{,}000,\\[6pt] 5\,t+10{,}000, & t>2{,}000. \end{cases}
f^{-1} representa o preço do ingresso x que gera um imposto igual a t.
(c) 60{,}000]

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