Determine a inversa das seguintes funções, indicando o domínio e imagem das funções inversas encontradas
(b) f(x)=\frac{2 x+5}{x-7}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a inversa da função e indicar o domínio e a imagem da função inversa. A função dada é
f(x)=\frac{2x+5}{x-7}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f é \displaystyle f(x)=\frac{2x+5}{x-7}.
  • Implicitamente há uma restrição no domínio de f: o denominador x-7 não pode ser zero, logo x\neq7.
  • A tarefa é: (1) achar f^{-1} (a inversa), (2) indicar o domínio de f^{-1} e (3) indicar a imagem (contradomínio efetivo) de f^{-1}.

Passo 2

Estratégia para encontrar a inversa (explicação didática):
Para achar a inversa de uma função f dada por y=f(x) procede-se assim:
  1. Escreve-se y= expressão em x.
  2. Troca-se os papéis: resolve-se essa equação para x em função de y.
  3. Ao final substitui-se y por x para escrever f^{-1}(x).
Vou aplicar isso passo a passo à função dada. Seja
y=\frac{2x+5}{x-7}.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados por x-7 para eliminar o denominador (atenção: essa operação exige que x\neq7, que já sabemos):
y(x-7)=2x+5.
Agora vou desenvolver o lado esquerdo:
yx-7y=2x+5.

Passo 4

Reunir os termos que contêm x num mesmo lado, e os restantes no outro lado. Subtraindo 2x de ambos os lados e somando 7y em ambos os lados:
yx-2x=7y+5.
Fatorando x no lado esquerdo:
x(y-2)=7y+5.

Passo 5

Isolar x dividindo por y-2. Aqui é importante notar que devemos exigir y\neq2 para que a divisão seja válida. Assim obtemos
x=\frac{7y+5}{y-2},\qquad \text{com }y\neq2.

Passo 6

Trocar y por x para escrever a fórmula da inversa na forma usual. A função inversa é
f^{-1}(x)=\frac{7x+5}{x-2}.
E já aparece a restrição natural no domínio de f^{-1}: x\neq2.

Passo 7

Determinar o domínio de f^{-1} e a imagem de f^{-1} (explicação conceitual):
  • O domínio de f^{-1} é a imagem (o conjunto de valores assumidos) da função original f.
  • A imagem de f^{-1} é o domínio da função original f.
Já vimos que o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{7\} (por causa de x-7\neq0). Precisamos então achar a imagem de f, isto é, os valores y que realmente aparecem em y=\dfrac{2x+5}{x-7} quando x varia em \mathbb{R}\setminus\{7\}.

Passo 8

Encontrar explicitamente os valores excluídos da imagem de f:
Testa-se se existe x tal que f(x)=2. Substituindo y=2 na equação do passo 3:
2(x-7)=2x+5 \quad\Rightarrow\quad 2x-14=2x+5 \quad\Rightarrow\quad -14=5,
o que é impossível. Portanto y=2 nunca é atingido por f. Para funções do tipo racional linear \dfrac{ax+b}{cx+d} com ad-bc\neq0 costuma acontecer que a imagem é \mathbb{R}\setminus\{\text{valor horizontal assintótico}\}ó; aqui o valor excluído é 2. Logo a imagem de f é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Portanto:
  • Domínio de f^{-1} = imagem de f = \mathbb{R}\setminus\{2\}.
  • Imagem de f^{-1} = domínio de f = \mathbb{R}\setminus\{7\}.

Passo 9

Verificação por composição (garantir que realmente é a inversa):
Vou verificar f(f^{-1}(x))=x para x no domínio de f^{-1} (ou seja x\neq2):
f\!\big(f^{-1}(x)\big) = \frac{2\cdot\frac{7x+5}{x-2}+5}{\frac{7x+5}{x-2}-7}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (x-2):
numerador
2\cdot\frac{7x+5}{x-2}+5=\frac{2(7x+5)+5(x-2)}{x-2}=\frac{14x+10+5x-10}{x-2}=\frac{19x}{x-2},
denominador
\frac{7x+5}{x-2}-7=\frac{7x+5-7(x-2)}{x-2}=\frac{7x+5-7x+14}{x-2}=\frac{19}{x-2}.
Dividindo numerador por denominador:
\frac{\frac{19x}{x-2}}{\frac{19}{x-2}}=x.
Idêntico a x para todo x\neq2. De forma análoga verifica-se f^{-1}(f(x))=x para todo x\neq7. Isso confirma que a expressão encontrada é de fato a inversa.

Passo 10

Resumo final e dica para a prova (rápida): para funções racionais do tipo \dfrac{ax+b}{cx+d} a inversa costuma ser outra função da mesma forma; sempre cuide das exclusões por denominadores (tanto na função original quanto na inversa) e lembre-se que domínio/ imagem se trocam quando se passa para a inversa. Você fez certinho — respira e confia, vai dar certo!

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{7x+5}{x-2}
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{2\}
Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{7\}

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