Determine a inversa das seguintes funções, indicando o domínio e imagem das funções inversas encontradas
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a inversa da função e indicar o domínio e a imagem da função inversa. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - Implicitamente há uma restrição no domínio de
: o denominador não pode ser zero, logo . - A tarefa é: (1) achar
(a inversa), (2) indicar o domínio de e (3) indicar a imagem (contradomínio efetivo) de .
Passo 2
Estratégia para encontrar a inversa (explicação didática):
Para achar a inversa de uma função dada por
procede-se assim:
Para achar a inversa de uma função
- Escreve-se
expressão em . - Troca-se os papéis: resolve-se essa equação para
em função de . - Ao final substitui-se
por para escrever .
Vou aplicar isso passo a passo à função dada. Seja
Passo 3
Multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador (atenção: essa operação exige que
, que já sabemos):
Agora vou desenvolver o lado esquerdo:
Passo 4
Reunir os termos que contêm
num mesmo lado, e os restantes no outro lado. Subtraindo
de ambos os lados e somando
em ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Isolar
dividindo por
. Aqui é importante notar que devemos exigir
para que a divisão seja válida. Assim obtemos
Passo 6
Trocar
por
para escrever a fórmula da inversa na forma usual. A função inversa é
E já aparece a restrição natural no domínio de
:
.
Passo 7
Determinar o domínio de
e a imagem de
(explicação conceitual):
- O domínio de
é a imagem (o conjunto de valores assumidos) da função original . - A imagem de
é o domínio da função original .
Já vimos que o domínio de
é
(por causa de
). Precisamos então achar a imagem de
, isto é, os valores
que realmente aparecem em
quando
varia em
.
Passo 8
Encontrar explicitamente os valores excluídos da imagem de
:
Testa-se se existe tal que
. Substituindo
na equação do passo 3:
Testa-se se existe
o que é impossível. Portanto
nunca é atingido por
. Para funções do tipo racional linear
com
costuma acontecer que a imagem é
; aqui o valor excluído é
. Logo a imagem de
é
.
Portanto:
- Domínio de
= imagem de = . - Imagem de
= domínio de = .
Passo 9
Verificação por composição (garantir que realmente é a inversa):
Vou verificar para
no domínio de
(ou seja
):
Vou verificar
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
numerador
numerador
denominador
Dividindo numerador por denominador:
Idêntico a
para todo
. De forma análoga verifica-se
para todo
. Isso confirma que a expressão encontrada é de fato a inversa.
Passo 10
Resumo final e dica para a prova (rápida): para funções racionais do tipo
a inversa costuma ser outra função da mesma forma; sempre cuide das exclusões por denominadores (tanto na função original quanto na inversa) e lembre-se que domínio/ imagem se trocam quando se passa para a inversa. Você fez certinho — respira e confia, vai dar certo!
Resposta
Domínio de
Imagem de