Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função inversa da função
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
- A expressão explícita de
é . - Vou adotar a convenção usual para
: sua imagem principal é o intervalo . Ou seja, . - A pergunta é: achar
e, implicitamente, seu domínio (ou seja, o conjunto de valores em que a inversa está definida).
Passo 2
Verificar se a inversa existe (injeção) e encontrar o conjunto imagem de
(que será o domínio de
).
- A função
é estritamente crescente em , pois é crescente. - A função
é estritamente decrescente em quando tomamos a imagem principal . - Composição de uma função crescente com uma decrescente dá uma função decrescente; portanto
é estritamente decrescente, logo injetora, logo possui inversa (sobre sua imagem). - Determinemos os limites extremos para achar a imagem de
: - Quando
, tem-se . Como quando , obtemos - Quando
, tem-se . Note que tal que com ; isso dá . Assim
- Quando
- Como
é contínua e estritamente decrescente, sua imagem é o intervalo aberto entre esses limites: - Portanto a inversa
estará definida em .
Passo 3
Agora resolvemos explicitamente para a inversa: dado um valor de saída
, vamos achar
tal que
.
- Começamos escrevendo a equação
- Dividindo por
, Aqui , que está dentro do intervalo principal onde é inversível pela função . - Aplicando
em ambos os lados (lembrando que para todo ), - Isolando
, - Tomando o logaritmo na base
dos dois lados (já que para ; de fato varia em nesse intervalo, portanto ), - Assim, expressando a inversa em notação usual (substituindo
por como variável da inversa), com domínio .
Passo 4
Checagem rápida para ganhar confiança:
- Sabemos que
. - Aplicando a inversa encontrada em
, que reconfirma , consistente com .