Determine a inversa das seguintes funções :
2 \operatorname{arccot}\left(2^{x}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função inversa da função
f(x)=2\operatorname{arccot}\bigl(2^{x}-1\bigr).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • A expressão explícita de f é f(x)=2\operatorname{arccot}(2^{x}-1).
  • Vou adotar a convenção usual para \operatorname{arccot}: sua imagem principal é o intervalo (0,\pi). Ou seja, \operatorname{arccot}:\mathbb{R}\to(0,\pi).
  • A pergunta é: achar f^{-1} e, implicitamente, seu domínio (ou seja, o conjunto de valores em que a inversa está definida).

Passo 2

Verificar se a inversa existe (injeção) e encontrar o conjunto imagem de f (que será o domínio de f^{-1}).
  • A função x\mapsto 2^{x}-1 é estritamente crescente em \mathbb{R}, pois 2^{x} é crescente.
  • A função \operatorname{arccot}(t) é estritamente decrescente em t\in\mathbb{R} quando tomamos a imagem principal (0,\pi).
  • Composição de uma função crescente com uma decrescente dá uma função decrescente; portanto f é estritamente decrescente, logo injetora, logo possui inversa (sobre sua imagem).
  • Determinemos os limites extremos para achar a imagem de f:
    • Quando x\to+\infty, tem-se 2^{x}-1\to+\infty. Como \operatorname{arccot}(t)\to 0^{+} quando t\to+\infty, obtemos \lim_{x\to+\infty}f(x)=2\cdot 0=0.
    • Quando x\to-\infty, tem-se 2^{x}-1\to -1^{+}. Note que \operatorname{arccot}(-1)=\theta tal que \cot\theta=-1 com \theta\in(0,\pi); isso dá \theta=\tfrac{3\pi}{4}. Assim \lim_{x\to-\infty}f(x)=2\cdot \frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}.
  • Como f é contínua e estritamente decrescente, sua imagem é o intervalo aberto entre esses limites: \operatorname{Im}(f)=\left(0,\frac{3\pi}{2}\right).
  • Portanto a inversa f^{-1} estará definida em \left(0,\tfrac{3\pi}{2}\right).

Passo 3

Agora resolvemos explicitamente para a inversa: dado um valor de saída y\in\left(0,\tfrac{3\pi}{2}\right), vamos achar x tal que y=f(x).
  • Começamos escrevendo a equação y=2\operatorname{arccot}\bigl(2^{x}-1\bigr).
  • Dividindo por 2, \frac{y}{2}=\operatorname{arccot}\bigl(2^{x}-1\bigr).Aqui \frac{y}{2}\in\left(0,\tfrac{3\pi}{4}\right), que está dentro do intervalo principal onde \operatorname{arccot} é inversível pela função \cot.
  • Aplicando \cot em ambos os lados (lembrando que \cot(\operatorname{arccot}(t))=t para todo t\in\mathbb{R}), \cot\!\left(\frac{y}{2}\right)=2^{x}-1.
  • Isolando 2^{x}, 2^{x}=1+\cot\!\left(\frac{y}{2}\right).
  • Tomando o logaritmo na base 2 dos dois lados (já que 1+\cot\!\bigl(\frac{y}{2}\bigr)>0 para \frac{y}{2}\in\left(0,\tfrac{3\pi}{4}\right); de fato \cot varia em (-1,\infty) nesse intervalo, portanto 1+\cot>0), x=\log_{2}\!\left(1+\cot\!\left(\frac{y}{2}\right)\right).
  • Assim, expressando a inversa em notação usual (substituindo y por x como variável da inversa), f^{-1}(x)=\log_{2}\!\left(1+\cot\!\left(\frac{x}{2}\right)\right),com domínio \left(0,\tfrac{3\pi}{2}\right).

Passo 4

Checagem rápida para ganhar confiança:
  • Sabemos que f(0)=2\operatorname{arccot}(2^{0}-1)=2\operatorname{arccot}(0)=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
  • Aplicando a inversa encontrada em x=\pi, f^{-1}(\pi)=\log_{2}\!\left(1+\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\log_{2}(1+0)=\log_{2}(1)=0,que reconfirma f^{-1}(\pi)=0, consistente com f(0)=\pi.

Resposta

f^{-1}(x)=\log_{2}\!\left(1+\cot\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)\n \operatorname{dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=\left(0,\dfrac{3\pi}{2}\right)

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