Determine a inversa das seguintes funções :
\operatorname{sen}(\arctan (2 x+1))

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a função inversa de f onde
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\arctan(2x+1)\bigr).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão interna é 2x+1.
  • \arctan está definida para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio de f é \mathbb{R}.
  • Como \arctan toma valores em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) e o seno nessa janela varia em (-1,1), a imagem (contradomínio efetivo) de f está dentro de (-1,1).
  • Nosso objetivo: achar, explicitamente, a função f^{-1} que, dada uma saída y\in(-1,1), devolve o x\in\mathbb{R} tal que y=f(x).

Passo 2

Definição e estratégia: para achar a inversa resolvemos a equação
y=\operatorname{sen}\bigl(\arctan(2x+1)\bigr)
em função de y, isolando x. Vou chamar a quantidade interna de ângulo para facilitar a manipulação.

Passo 3

Faça a substituição \theta=\arctan(2x+1). Então temos
\tan\theta=2x+1 \qquad\text{e}\qquad y=\sin\theta,
com \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Agora precisamos relacionar \sin\theta com \tan\theta. Para isso uso a identidade trigonométrica baseada em um triângulo retângulo ou relações fundamentais:
\sin\theta=\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}},
válida quando \cos\theta>0, o que ocorre em \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Aqui \tan\theta representa o quociente \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}, e a hipotenusa é \sqrt{1+\tan^2\theta} ao normalizar o adjacente para 1.

Passo 4

Seja u=2x+1. A partir das equalidades acima obtemos
y=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}.
Agora resolvemos essa equação para u. Multiplicando ambos os lados por \sqrt{1+u^2} e isolando:
y\sqrt{1+u^2}=u.
Elevando ao quadrado (atenção: isso pode introduzir sinal ambíguo que precisaremos checar depois),
y^2(1+u^2)=u^2.
Desenvolvendo e isolando u^2:
y^2 + y^2u^2 = u^2 \quad\Rightarrow\quad y^2 = u^2(1-y^2) \quad\Rightarrow\quad u^2 = \frac{y^2}{1-y^2},
válido para y\in(-1,1) (pois 1-y^2>0).

Passo 5

Da equação u^2=\dfrac{y^2}{1-y^2} obtemos
u=\pm\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}.
Mas devemos escolher o sinal correto: voltando à equação não quadrática y\sqrt{1+u^2}=u, o lado esquerdo tem o mesmo sinal de y (pois \sqrt{1+u^2}>0), portanto u tem o mesmo sinal que y. Assim o sinal a escolher é o sinal de y, e portanto
u=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}
para todo y\in(-1,1). Lembre que u=2x+1.

Passo 6

Agora isolamos x em função de u:
2x+1=u \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u-1}{2}.
Substituindo o valor de u encontrado em termos de y (de forma simbólica neste passo) obtemos a expressão de x em função de y. Podemos verificar também que, substituindo u=\dfrac{y}{\sqrt{1-y^2}} de volta em y=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}, recuperamos y (verificação rápida: 1+u^2=\dfrac{1}{1-y^2}, então \dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}=y), o que confirma que a escolha de sinal está correta e que a solução é consistente.

Passo 7

Conclusão: a inversa existe porque f é injetora (composição de funções crescentes nesse intervalo) e sua expressão explícita é obtida substituindo u em x=(u-1)/2. A fórmula final da inversa será apresentada abaixo.

Resposta

f^{-1}(y)=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}-1\right),\quad y\in(-1,1)

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