Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a função inversa de
onde
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão interna é
. -
está definida para todo , logo o domínio de é . - Como
toma valores em e o seno nessa janela varia em , a imagem (contradomínio efetivo) de está dentro de . - Nosso objetivo: achar, explicitamente, a função
que, dada uma saída , devolve o tal que .
Passo 2
Definição e estratégia: para achar a inversa resolvemos a equação
em função de
, isolando
. Vou chamar a quantidade interna de ângulo para facilitar a manipulação.
Passo 3
Faça a substituição
. Então temos
com
.
Agora precisamos relacionar
com
. Para isso uso a identidade trigonométrica baseada em um triângulo retângulo ou relações fundamentais:
válida quando
, o que ocorre em
. Aqui
representa o quociente
, e a hipotenusa é
ao normalizar o adjacente para 1.
Passo 4
Seja
. A partir das equalidades acima obtemos
Agora resolvemos essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
e isolando:
Elevando ao quadrado (atenção: isso pode introduzir sinal ambíguo que precisaremos checar depois),
Desenvolvendo e isolando
:
válido para
(pois
).
Passo 5
Da equação
obtemos
Mas devemos escolher o sinal correto: voltando à equação não quadrática
, o lado esquerdo tem o mesmo sinal de
(pois
), portanto
tem o mesmo sinal que
. Assim o sinal a escolher é o sinal de
, e portanto
para todo
. Lembre que
.
Passo 6
Agora isolamos
em função de
:
Substituindo o valor de
encontrado em termos de
(de forma simbólica neste passo) obtemos a expressão de
em função de
. Podemos verificar também que, substituindo
de volta em
, recuperamos
(verificação rápida:
, então
), o que confirma que a escolha de sinal está correta e que a solução é consistente.
Passo 7
Conclusão: a inversa existe porque
é injetora (composição de funções crescentes nesse intervalo) e sua expressão explícita é obtida substituindo
em
. A fórmula final da inversa será apresentada abaixo.